Går det att lösa denna uppgift algebraiskt eller måste man använda miniräknaren? (Matematik/Matte 5)

Ja, det går ju, men det är inte särskilt roligt. Derivera två gånger, sätt lika med noll och lös.

Jag får det till att $x=\dfrac{5\ln(74)}{3}$ .

Ja, jag gjorde som du sa och fick till första derivatan rätt. Jag vet inte vad jag har missat i andra derivatan för jag får att x inte är definerat vilket är såklart fel i det här fallet.

$y' = \frac{3330 e^{- 0, 6 x}}{(1 + 74 e^{- 0, 6 x})^{2}} y'' = 3330 \cdot (- 0, 6) \cdot (1 + 74 e^{- 0, 6 x})^{- 2} \cdot (- 0, 6) \cdot 74 \cdot 74 e^{- 0, 6 x} \cdot (- 2) \cdot (1 + 74 e^{- 0, 6 x})^{- 3} = = \frac{- 177 442, 4 \cdot 74 e^{- 0, 6 x}}{(1 + 74 e^{- 0, 6 x})^{- 5}}$

Jag fattar inte riktigt vad du har gjort.

Du borde använda kvotregeln, men jag ser bara en term i täljaren..

Jag skrev om den så att jag kunde använda mig av produktregeln, men ska testa med kvotregeln så återkommer jag.

Man behöver väl inte krångla till det i onödan?

Om nämnaren går mot noll så "rusar" y mot oändligheten, och så gör även derivatan!

$1 + 74 e^{- 0.6 x} = 0$

Resten klarar du enkelt själv :-)

Affe Jkpg skrev:
Man behöver väl inte krångla till det i onödan?
Om nämnaren går mot noll så "rusar" y mot oändligheten, och så gör även derivatan!
$1 + 74 e^{- 0.6 x} = 0$
Resten klarar du enkelt själv :-)

Jag vet inte om jag tror så mycket på denna metod. Om jag förstår dig rätt menar du att det sökta $x$ -värdet uppfyller ekvationen $1+74e^{-0,6x}=0$ . Jag finner två problem:

Ekvationen saknar lösningar.
Även om det fanns lösningar till ekvationen skulle ju derivatan i så fall vara odefinierad vid det $x$ -värdet. Däremot skulle det finnas värden som låg nära detta $x$ -värde vilka skulle ge stora värden på derivatan. Dock skulle man ju då kunna finna oändligt stora värden på derivatan, och då skulle uppgiften bara vara trams.

Rita. Det går utmärkt att lösa det algebraiskt. Sätt e^(-0,6x) till t så blir det mindre att skriva.

Den här funktionen (eller dess syskon) kallas den logistiska funktionen.

Okej jag använde mig av kvotregeln och körde fast vid

$e^{- 0, 6 x} = \frac{1}{74}$

Hur tar man sig vidare?

$e^{- 0.6 x} = \frac{1}{74} \ln (e^{- 0.6 x}) = \ln (\frac{1}{74}) - 0.6 x = \ln (\frac{1}{74}) x = \frac{1}{0.6} \ln (74)$

Affe Jkpg skrev:
Man behöver väl inte krångla till det i onödan?
Om nämnaren går mot noll så "rusar" y mot oändligheten, och så gör även derivatan!
$1 + 74 e^{- 0.6 x} = 0$
Resten klarar du enkelt själv :-)

Jag missade ett tecken för att lösa ekvationen på ett så enkelt sätt :-)

Ja, justeeeeeeee, det var så man löste ekvationer av denna typ. Okej, tack för hjälpen AlvinB, Laguna och Affe Jkpg!

Detta är en logistisk kurva och en sådan löser logistiska differentialekvationer.

$y'(x) = a y(x) (b-y(x))$ där $b$ är den övre asymptoten till $y(x)$ $ vilket är $b = 75$ .

Kvadratkomplettering av andragradsuttrycket $ay(b-y)$ visar för vilket $y$ -värde som derivatan är maximal.

$y'(x) = 0.25b^2a - a(y-0.5b)^2 \leq 0.25 b^2a$

med likhet precis då $y=0.5b \iff e^{-0.6x} = 1/74 \iff x = \frac{1}{0.6}\ln 74 = \frac{5}{3}\ln 74.$