Går det att hitta en ortogonal matris S sådan att S^-(1)AS är en diagonalmatris? (Tenta-uppgift)
Följande är en gammal tenta-uppgift. Jag klarade 5a och 5b utan problem, men vet inte hur jag ska tänka på 5c. Facit säger enbart ”nej” men utan någon motivering.
Jag vet vad en ortogonal matris är (en kvadratisk matris där kolonnerna bildar en ortonormerad mängd), men kan ändå inte komma vidare.
Jag tror att den som skapat uppgiften tänkt såhär:
Kolonnerna i matrisen måste bestå av egenvektorer till egenvärdena längs diagonalen i .
För att bilda en ortogonal matris måste kolonnerna vara parvis ortogonala och ha längden 1. Vi har inte frihet att välja tre ortogonala egenvektorer eftersom egenrummet till egenvärdet -1 inte är ortogonalt mot egenvektorn till egenvärdet 0 (matrisens nollrum).
Ovanstående resonemang förutsätter dock några egenskaper hos i förhållande till som inte är självklara.
D4NIEL skrev:Jag tror att den som skapat uppgiften tänkt såhär:
Kolonnerna i matrisen måste bestå av egenvektorer till egenvärdena längs diagonalen i .
För att bilda en ortogonal matris måste kolonnerna vara parvis ortogonala och ha längden 1. Vi har inte frihet att välja tre ortogonala egenvektorer eftersom egenrummet till egenvärdet -1 inte är ortogonalt mot egenvektorn till egenvärdet 0 (matrisens nollrum).
Ovanstående resonemang förutsätter dock några egenskaper hos i förhållande till som inte är självklara.
Jag hängde med fram till det fetmarkerade. Jag vet att egenrummet är det delrum som spänns upp av tillhörande egenvektorer. Men hur vet jag att egenrummet till egenvärdet -1’s egenvektorer inte är ortogonalt mot egenvektorer till nollrummet? Ska jag ta skalärprodukten mellan kolonnvektorerna (som inte kommer bli 0 om de inte är ortogonala)?
Ska jag ta skalärprodukten mellan kolonnvektorerna (som inte kommer bli 0 om de inte är ortogonala)?
Ja, det kan du göra.
För planet (egenrummet) som spänns av egenvektorerna till -1 kan vi välja två ortogonala basvektorer, men hur vi än försöker kan vi inte skala om egenvektorn till det tredje egenvärdet (0) så att den blir ortogonal mot egenrummet.
Orsaken är naturligtvis att den tredje egenvektorn har en komponent som ligger i egenrummet som spänns av de två första egenvektorerna.
