Går det att förkorta uttrycket på detta vis?

Du har rätt, det går inte  att förenkla på det sättet.

Det gäller helt enkelt inte att $\sqrt{x^2+y^2}$ är lika med $x+y$.

Finns det någon skäl bakom detta? Nån regel eller liknande t.ex?

Det finns sällan regler som förklarar varför saker är fel.

Till exempel är det svårt att hitta en regel som förklarar varför höger inte är lika med vänster, varför 42 inte är lika med 19 eller varför x inte är lika med y.

Men om vi ska försöka hitta på något så kan vi ju helt enkelt visa att det inte stämmer genom att gå åt andra hållet.

Vi utgår från $x+y$ och kvadrerar detta uttryck.

Då får vi, enligt kvadreringsregeln, $x^2+2xy+y^2$.

Om vi nu drar roten ur detta får vi $\sqrt{x^2+2xy+y^2}$.

Detta  är inte lika med $\sqrt{x^2+y^2}$.

Alltså är $\sqrt{x^2+y^2}$ inte lika med $x+y$.

karisma skrev:

Finns det någon skäl bakom detta? Nån regel eller liknande t.ex?

Det behövs ingen regel. Prova  med några tal, t ex 3 och 4.  3²+4² = 9+16 = 25 och roten ur 25 är 5, men 3+4 = 7, inte 5.