Gamla tentafrågan_linjär algebra (vektorer)

Kan man inte projicera 5 på den nordliga axeln och sen minska den med någon faktor till den blir 2, då tar norra och södra farten ut varandra och kvar blir den minskade farten österut?

I uppgiften:" båten rör sig rakt österut men samtidigt rakt åt nordost genom vattnet." 

Hur kan man åstadkomma detta med dem två vektorer som vi redan har? 

Analys skrev:

Kan man inte projicera 5 på den nordliga axeln och sen minska den med någon faktor till den blir 2, då tar norra och södra farten ut varandra och kvar blir den minskade farten österut?

Men om hastighet åt norr och söder tar ut varandra kommer båten stannar stil? Det kommer inte blir någon fart kvar. Och om det gör, hur visste du att det resterande farten kommer pekar åt öster? 

Hastighetsvektorn ska fortfarande peka åt nordost, vilket innebär att den har en nordlig komposant V_N (blå) och en ostlig komposant V_Ö (röd), se bild.

Det Analys menar är att du ska välja storlek på hastighetsvektorn så att den nordliga komposanten får beloppet 2 m/s.

Då kommer båten inte att röra sig i nord/sydlig riktning men fortfarande röra sig i östlig riktning.

Notera att facit inte har svarat på frågan.

Hur kan ja beräknar Vn och Vö av hastighetensvektor $\frac{5}{\sqrt{2}}(1,1)$? 

Vi har en formeln för beräknar projektion: 

Om vi vill projicera vektor u på vektor v då ska formeln ser ut så här:

Sätt v = längden av hastighetsvektorn.

Eftersom vinkeln mellan hastghetsvektorn och dess nordliga komposant v_N är 45° så har vi att cos(45°) = v_N/v, dvs v = v_N/cos(45°).

Vi vill nu välja v så att v_N = 2 m/s, vilket ger oss v = 2/cos(45°).

Kommer du vidare då?

Så i princip, allt ja behöver göra är att omvandlar hasighetsvektorer så den har farten 2/cos(45) m/s?

Och hastighetesvektorer nu är $\frac{5}{\sqrt{2}}(1,1)$. 

Nej, det låter inte rätt. Vi ska beräknar farten av hastighetsvektorer. 

Jag är fastnat igen, tyvärr.

Så här ser min försök ut: 

Nej, vi ska beräknar hur mycket farten måste sänkas för att åstadkomma kravet. Jag tror ja har gjort rätt. Men är fortfarande lite osäker på vad exakt är det ja ska beräknar här. 

Ursprungsfarten är 5 m/s.

Den ska sänkas till 2/cos(45°) m/s.

Sänkningen är alltså 5-2/cos(45°) m/s.

$5-\left(\frac{2}{\cos \left(45\right)}\right)=5-2\sqrt{2}\ne 2\sqrt{2} m/s$

Yngve skrev:

Ursprungsfarten är 5 m/s.

Den ska sänkas till 2/cos(45°) m/s.

Sänkningen är alltså 5-2/cos(45°) m/s.

Jag tror inte det är hur man beräknar här. 

Marcus N skrev:

Jag tror inte det är hur man beräknar här. 

Mitt lösningsförslag skiljer sig från det i tentalösningen. Jag svarar på själva frågan, i tentalösningen uttrycker de samma svar på ett annat sätt.

Men är du med på att resultatet är detsamma och förstår du det resonemang jag förde?

I #15 skrev du: "Säkningen är alltså 5-2/cos(45)" och det stämmer inte med facit där sänking borde vara $2\sqrt{2} m/s$

Marcus N skrev:

I #15 skrev du: "Säkningen är alltså 5-2/cos(45)" och det stämmer inte med facit där sänking borde vara $2\sqrt{2} m/s$

Nej, i facit står det att sänkningen är från 5 m/s  till $2\sqrt{2}$ m/s. Det står inte att sänkningen är $2\sqrt{2}$ m/s.

Som D4NIEL skrev i svar #6, facit har inte svarat på själva frågan.

Sänkningen är $5-2\sqrt{2}$ m/s.

========

Det är precis samma sak som följande:

Jag kör bil på vägen och närmar mig ett bostadsområde. Jag sänker därför hastigheten från 90 km/h till 50 km/h.

Sänkningen är 90-50 = 40 km/h, inte 50 km/h.