Gäller relativitetsteorin även för "vardagliga" hastigheter?

Om man räknar relativistiskt får man alltid rätt svar (om man inte räknar fel, förstås). Om hastigheten är tillräckligt låg ger Newtons vanliga mekanik samma resultat, och man får enklare beräkningar.

Ja, man kan alltid räkna relativistiskt. Du kan visa med taylorutveckling att den relativistiska rörelseenergin går mot mv^2/2 för v << c. 

smaragdalena skrev :

Om man räknar relativistiskt får man alltid rätt svar (om man inte räknar fel, förstås). Om hastigheten är tillräckligt låg ger Newtons vanliga mekanik samma resultat, och man får enklare beräkningar.

Jag tänker på exempel där partiklar (elektroner, protoner eller neutroner) accelereras med spänningar på hundratals kilovolt och man blir osäker på om deras hastigheter kommer att överskrida 10% av c. Det jag har förstått tidigare är att man även kan använda mekaniska formler och kontrollera att hastigheten inte blir så stor, men kan det inte vara fel att göra så med tanke på att om man får för stora hastigheter med de mekaniska formler så kanske det är missvisande då mekaniska lagar inte gäller för hastigheter större än c?

Tror inte det blir ett problem. Om du skulle räkna icke-relativistiskt och få ett resultat på t.ex. en hastighet som blir "hög" så är det rimligen läge att testa räkna relativistiskt. Om du å andra sidan räknar icke-relativistiskt och resultatet visar på "låg" hastighet är det rimligen just "låg" hastighet vi talar om. Vad som sedan ska betraktas som "hög" resp. "låg" hastighet är också en delikat fråga.

Jag har svårt att se hur du skulle kunna hamna i läget att den "rätta" hastigheten är "hög" (dvs. du borde räkna relativistiskt för att få bra noggrannhet, fast det vet du inte om initialt), du väljer att först räkna icke-relativistiskt och kommer fram till ett svar som ger dig "låg" hastighet. (Hm, det där blev inte jättesmidigt beskrivet...) Vad jag menar är att du, om du inte vet alls, kan testa icke-relativistiskt först. Om då ditt svar blir över eller på gränsen till vad man i det fallet bör betrakta som "hög" hastighet, då höjs ett varningens finger. I annat fall bör du kunna vara lugn med det icke-relativistiska.

Rätta mig gärna om jag har fel! Det var länge sedan jag tänkte i relativistiska banor.

dobedidoo skrev :

Tror inte det blir ett problem. Om du skulle räkna icke-relativistiskt och få ett resultat på t.ex. en hastighet som blir "hög" så är det rimligen läge att testa räkna relativistiskt. Om du å andra sidan räknar icke-relativistiskt och resultatet visar på "låg" hastighet är det rimligen just "låg" hastighet vi talar om. Vad som sedan ska betraktas som "hög" resp. "låg" hastighet är också en delikat fråga.

Jag har svårt att se hur du skulle kunna hamna i läget att den "rätta" hastigheten är "hög" (dvs. du borde räkna relativistiskt för att få bra noggrannhet, fast det vet du inte om initialt), du väljer att först räkna icke-relativistiskt och kommer fram till ett svar som ger dig "låg" hastighet. (Hm, det där blev inte jättesmidigt beskrivet...) Vad jag menar är att du, om du inte vet alls, kan testa icke-relativistiskt först. Om då ditt svar blir över eller på gränsen till vad man i det fallet bör betrakta som "hög" hastighet, då höjs ett varningens finger. I annat fall bör du kunna vara lugn med det icke-relativistiska.

Rätta mig gärna om jag har fel! Det var länge sedan jag tänkte i relativistiska banor.

1. Men om man får en hastighet som är ca 10% av c, bör man då använda relativistiskt eller inte för att få rätt svar? Hur vet man det?

2. Blir det inte en jobbig omväg att räkna icke-relativistiskt och sedan inse att man borde göra det relativistiskt, som exempelvis b frågan? (som dessutom min lärare skulle kunna ge poängavdrag på grund av "dålig metod") :

I detta fall har facit räknat relativistiskt från början! Det står ingenstans att man ska räkna relativistiskt men ändå gör facit det!!

1 : Det beror helt på situationen, det finns inget enkelt svar. På 1600-1900-talet nöjde man sig med att beskriva Merkurius bana runt solen med Newtons lagar. Det gav tillräckligt bra resultat för att man skulle kunna beräkna var den ungefär borde befinna sig när man tittade mot himlen, på Einsteins tid hade man bättre mätinstrument och då insåg man att newtons lagar gav fel svar (43 sekunder på 100 år). Spelar 43 sekunder på 100 år någon roll om du ska titta på Merkurius en gång i veckan med ett teleskop, givetvis inte, du kommer hitta planeten ändå om du använder Newtons lagar. Men om du lägger undan teleskopet och tittar upp om 1000 år kanske du inte ens hittar planeten om du inte räknar ut Merkurius bana med Einsteins allmänna relativitetsteori.

Det finns inget enkelt svar, det beror helt och hållet på situation

emmynoether skrev :

1 : Det beror helt på situationen, det finns inget enkelt svar. På 1600-1900-talet nöjde man sig med att beskriva Merkurius bana runt solen med Newtons lagar. Det gav tillräckligt bra resultat för att man skulle kunna beräkna var den ungefär borde befinna sig när man tittade mot himlen, på Einsteins tid hade man bättre mätinstrument och då insåg man att newtons lagar gav fel svar (43 sekunder på 100 år). Spelar 43 sekunder på 100 år någon roll om du ska titta på Merkurius en gång i veckan med ett teleskop, givetvis inte, du kommer hitta planeten ändå om du använder Newtons lagar. Men om du lägger undan teleskopet och tittar upp om 1000 år kanske du inte ens hittar planeten om du inte räknar ut Merkurius bana med Einsteins allmänna relativitetsteori.

Det finns inget enkelt svar, det beror helt och hållet på situation

Hur räknar man ut banan med Newtons lagar respektive med Einsteins lagar? Det ända exemplet boken ger om relativistisk räknande är då en elektron accelereras från vila med spänningen 100kV. Men däremot har protonen större massa en elektronen så hur vet man att 6,50 MV faktiskt kompenserar skillnaden i massan då det gäller att ju större massa desto mindre hastighet får partikeln?

Kombinatorik skrev :

emmynoether skrev :

1 : Det beror helt på situationen, det finns inget enkelt svar. På 1600-1900-talet nöjde man sig med att beskriva Merkurius bana runt solen med Newtons lagar. Det gav tillräckligt bra resultat för att man skulle kunna beräkna var den ungefär borde befinna sig när man tittade mot himlen, på Einsteins tid hade man bättre mätinstrument och då insåg man att newtons lagar gav fel svar (43 sekunder på 100 år). Spelar 43 sekunder på 100 år någon roll om du ska titta på Merkurius en gång i veckan med ett teleskop, givetvis inte, du kommer hitta planeten ändå om du använder Newtons lagar. Men om du lägger undan teleskopet och tittar upp om 1000 år kanske du inte ens hittar planeten om du inte räknar ut Merkurius bana med Einsteins allmänna relativitetsteori.

Det finns inget enkelt svar, det beror helt och hållet på situation

Hur räknar man ut banan med Newtons lagar respektive med Einsteins lagar? Det ända exemplet boken ger om relativistisk räknande är då en elektron accelereras från vila med spänningen 100kV. Men däremot har protonen större massa en elektronen så hur vet man att 6,50 MV faktiskt kompenserar skillnaden i massan då det gäller att ju större massa desto mindre hastighet får partikeln?

Ur Newtons universella gravitationslag kan alla Keplers lagar härledas, du får googla om du vill läsa mer om det. För planetära rörelser i Einsteins allmänna relativtsteori får du komma tillbaka när du läser en kurs i allmän relativitetsteori på högskola. Det är inte jättesvårt men det krävs matematik som inte jag antar att du inte riktigt förstår än. 

Svaret blir att man får kontrollräkna och se, använder man först Newtons lagar och upptäcker att det blir höga hastigheter så får man använda relativitetsteorin istället. 

emmynoether skrev :

Kombinatorik skrev :

Visa föregående citat

emmynoether skrev :

1 : Det beror helt på situationen, det finns inget enkelt svar. På 1600-1900-talet nöjde man sig med att beskriva Merkurius bana runt solen med Newtons lagar. Det gav tillräckligt bra resultat för att man skulle kunna beräkna var den ungefär borde befinna sig när man tittade mot himlen, på Einsteins tid hade man bättre mätinstrument och då insåg man att newtons lagar gav fel svar (43 sekunder på 100 år). Spelar 43 sekunder på 100 år någon roll om du ska titta på Merkurius en gång i veckan med ett teleskop, givetvis inte, du kommer hitta planeten ändå om du använder Newtons lagar. Men om du lägger undan teleskopet och tittar upp om 1000 år kanske du inte ens hittar planeten om du inte räknar ut Merkurius bana med Einsteins allmänna relativitetsteori.

Det finns inget enkelt svar, det beror helt och hållet på situation

Hur räknar man ut banan med Newtons lagar respektive med Einsteins lagar? Det ända exemplet boken ger om relativistisk räknande är då en elektron accelereras från vila med spänningen 100kV. Men däremot har protonen större massa en elektronen så hur vet man att 6,50 MV faktiskt kompenserar skillnaden i massan då det gäller att ju större massa desto mindre hastighet får partikeln?

Ur Newtons universella gravitationslag kan alla Keplers lagar härledas, du får googla om du vill läsa mer om det. För planetära rörelser i Einsteins allmänna relativtsteori får du komma tillbaka när du läser en kurs i allmän relativitetsteori på högskola. Det är inte jättesvårt men det krävs matematik som inte jag antar att du inte riktigt förstår än. 

 

Svaret blir att man får kontrollräkna och se, använder man först Newtons lagar och upptäcker att det blir höga hastigheter så får man använda relativitetsteorin istället. 

Finns det ingen regel som säger att vid en viss volt för protoner, elektroner och neutroner så ska man räkna relativistiskt så att man inte behöver göra den icke-relativistiska uträckningen i onödan?

Finns det ingen regel som säger att vid en viss volt för protoner, elektroner och neutroner så ska man räkna relativistiskt så att man inte behöver göra den icke-relativistiska uträckningen i onödan?

Nej, det beror som emmynoether så träffande har beskrivit, helt på sammanhanget.

Tänk dig att du gör en beräkning med hjälo av Newtons rörelseformler och får svaret 0,23 meter.

Tänk dig att du skulle få svaret 0,2300004 meter om du istället räknade relativistiskt.

Vilket svar som är mest "rätt" är helt beroende av vad du ska använda svaret till.

Yngve skrev :

Finns det ingen regel som säger att vid en viss volt för protoner, elektroner och neutroner så ska man räkna relativistiskt så att man inte behöver göra den icke-relativistiska uträckningen i onödan?

Nej, det beror som emmynoether så träffande har beskrivit, helt på sammanhanget.

Tänk dig att du gör en beräkning med hjälo av Newtons rörelseformler och får svaret 0,23 meter.

Tänk dig att du skulle få svaret 0,2300004 meter om du istället räknade relativistiskt.

Vilket svar som är mest "rätt" är helt beroende av vad du ska använda svaret till.

Visst, men det jag inte håller med om är att det jag kommer använda svaret till är att bestämma partiklars hastigheter, rörelsemängder respektive kinetiska energier. Är det ändå inte tillräckligt för att veta vad man ska göra enligt någon regel .... ?

Kombinatorik skrev :

 

Finns det ingen regel som säger att vid en viss volt för protoner, elektroner och neutroner så ska man räkna relativistiskt så att man inte behöver göra den icke-relativistiska uträckningen i onödan?

Vi kan skapa en regel som heter PluggAkuts-Regeln.

Regeln är följande; om energinivåerna ett fält ger en partikel överstiger 0.5% av partikelns viloenergi ska en relativistisk beräkning genomföras. Detta är ungefär ekvivalent med att säga att en relativistisk beräkning skall genomföras då sluthastigheten utgör mer än 10% av ljushastigheten c.

Viloenergin för en proton är 938MeV, viloenergin för en elektron är 0.511MeV osv.

Guggle skrev :

Kombinatorik skrev :

 

Finns det ingen regel som säger att vid en viss volt för protoner, elektroner och neutroner så ska man räkna relativistiskt så att man inte behöver göra den icke-relativistiska uträckningen i onödan?

Vi kan skapa en regel som heter PluggAkuts-Regeln.

Regeln är följande; om energinivåerna ett fält ger en partikel överstiger 0.5% av partikelns viloenergi ska en relativistisk beräkning genomföras. Detta är ungefär ekvivalent med att säga att en relativistisk beräkning skall genomföras då sluthastigheten utgör mer än 10% av ljushastigheten c.

 

Viloenergin för en proton är 938MeV, viloenergin för en elektron är 0.511MeV osv.

Så man jämför W = qU med viloenergin för respektive partiklar. I detta fall är det en proton ( q^(2)U/938 = 1,77*10^(-34) ) men varför säger facit då att man ska använda relativistisk formel?

Kombinatorik skrev :

 

Så man jämför W = qU med viloenergin för respektive partiklar. I detta fall är det en proton ( q^(2)U/938 = 1,77*10^(-34) ) men varför säger facit då att man ska använda relativistisk formel?

Fältet är 6.5MV, energitillskottet blir alltså $W_k=qU=6.5MeV$. Viloenergin för en proton är 938MeV.

Vi kontrollerar mha PluggAkutsregeln: $W_k/W_0=6.5MeV/938MeV=0.7$

Eftersom 0.7% är STÖRRE än 0.5% ska en relativistisk beräkning genomföras enligt PluggAkutsregeln.

Guggle skrev :

Fältet är 6.5MV, energitillskottet blir alltså $W_k=qU=6.5MeV$.

Blir inte $W_k=qU=6.5*10^6*1,60*10^((-19))J$ ?

Jo, det är samma sak, fast du har använt SI-enheter och det har inte Guggle.

smaragdalena skrev :

Jo, det är samma sak, fast du har använt SI-enheter och det har inte Guggle.

Nu ser jag det! Men jag har inte riktigt förstått, hur kom Guggle fram till 0,5% och varför jämför man med viloenergin?

Kombinatorik skrev :

 

Nu ser jag det! Men jag har inte riktigt förstått, hur kom Guggle fram till 0,5% och varför jämför man med viloenergin?

Lorentzfaktorn, eller $\gamma$ ges av $\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}}$

Vad blir $\gamma$ när v är 10% av c?

Med hur många procent måste alltså massan (och därmed energin) öka jämfört med vilomassan i uttrycket

$W=mc^2=m_0\gamma c^2$

Du ville ha en regel och han myntade en... Det finns ingenting fysikaliskt alls som händer just vid 0.5 %

I min mening så kommer du bara måla in dig längre och längre i ett hörn om du sätter upp massa regler som egentligen inte finns. Det finns ingenting fysikaliskt alls som säger att du ska använda en teori för den ena situationen och en annan teori för en annan situation. Naturen beter sig precis på samma sätt hur vi än väljer att beskriva den, det enda som skiljer är hur bra resultat vi erhåller. Du kan använda både klassisk mekanik och relativitetsteori för att beskriva något och det enda som kommer skilja sig är hur exakt resultatet blir. Vilken teori du ska välja beror på hur exakt svar du behöver. 

Du kan få ett annat exempel här. När du bygger ohyggligt stora byggnader så bryr du dig inte alls om relativistiska effekter, du behöver t ex inte bry dig om att broar längdkontraheras för att månen snurrar runt Jorden, ingen som kör bil eller tåg kommer köra av pga dem här effekterna. Varför skulle du när effekten är så sjukt liten att den knappt går att mäta? Men när dem byggde LHC i CERN, som i princip är en gigantisk cirkelformad tunnel på 27 km i omkrets, där man kolliderar bland annat protoner i hastigheter nära c så blev dem här effekterna oerhört viktiga. Det visar sig att månen gör så att LHC kontraheras med en millimeter varje dag, tar man inte med dem här effekterna i designen så kan man inte styra protonstrålarna korrekt. Hade den här tunneln (samma tunnel) istället varit en tågtunnel hade man absolut inte behövs bry sig om dem här effekterna, ett tåg hade inte spårat ur för att man hade struntat i den där millimetern. 

Som du ser så beror det helt och hållet på vilken situation du är i, det finns ingen regel. 

emmynoether skrev :

Du ville ha en regel och han myntade en... Det finns ingenting fysikaliskt alls som händer just vid 0.5 %

 

Det som händer är att hastigheten överstiger 10% av c vilket förmodligen är den tumregel Kombinatoriks lärare vill att han ska använda.

När man ser ett fält om 6.5MV och en stackars proton med viloenergi 938MeV inser man snabbt mha PluggAkutsregeln att det krävs en relativistisk behandling eftersom $\gamma=1+6.5/938$ överstiger 1.005!

Jag är personligen helt begeistrad över denna nya kraftfulla regel. ;)

Guggle skrev :

emmynoether skrev :

Du ville ha en regel och han myntade en... Det finns ingenting fysikaliskt alls som händer just vid 0.5 %

 

Det som händer är att hastigheten överstiger 10% av c vilket förmodligen är den tumregel Kombinatoriks lärare vill att han ska använda.

När man ser ett fält om 6.5MV och en stackars proton med viloenergi 938MeV inser man snabbt mha PluggAkutsregeln att det krävs en relativistisk behandling eftersom $\gamma=1+6.5/938$ överstiger 1.005!

Jag är personligen helt begeistrad över denna nya kraftfulla regel. ;)

Tycker nästan vi tar och döper den till Guggles regel!

Guggle skrev :

emmynoether skrev :

Du ville ha en regel och han myntade en... Det finns ingenting fysikaliskt alls som händer just vid 0.5 %

 

Det som händer är att hastigheten överstiger 10% av c vilket förmodligen är den tumregel Kombinatoriks lärare vill att han ska använda.

När man ser ett fält om 6.5MV och en stackars proton med viloenergi 938MeV inser man snabbt mha PluggAkutsregeln att det krävs en relativistisk behandling eftersom $\gamma=1+6.5/938$ överstiger 1.005!

Jag är personligen helt begeistrad över denna nya kraftfulla regel. ;)

Men det jag har förstått tidigare är att W(k)/W(0) ≥ 0,005 så varför ska man addera med 1 enligt $\gamma=1+6.5/938$ ?

Kombinatorik skrev :

Men det jag har förstått tidigare är att W(k)/W(0) ≥ 0,005 så varför ska man addera med 1 enligt $\gamma=1+6.5/938$ ?

Du kan antingen köra på $W_k/W_0>0.005$ eller $\gamma>1.005$, det är samma sak.

$\gamma=\frac{W_k+W_0}{W_0}\Rightarrow \frac{W_k}{W_0}=\gamma -1$

Guggle skrev :

Kombinatorik skrev :

Men det jag har förstått tidigare är att W(k)/W(0) ≥ 0,005 så varför ska man addera med 1 enligt $\gamma=1+6.5/938$ ?

Du kan antingen köra på $W_k/W_0>0.005$ eller $\gamma>1.005$, det är samma sak.

$\gamma=\frac{W_k+W_0}{W_0}\Rightarrow \frac{W_k}{W_0}=\gamma -1$

1. Så vad händer då W(k)/W(0) = 0.005 eller gamma = 1.005?

2. Det där med din senaste formel för gamma förstår jag inte hur du får då jag bara vet att gamma = 1/sqrt(1-(v/c)^2) ?

Kombinatorik skrev :

1. Så vad händer då W(k)/W(0) = 0.005 eller gamma = 1.005?

När den energi fältet ger en partikel motsvarar 0.5% av partikelns vilomassa erhåller partikeln en hastighet som motsvarar ungefär 10% av ljusets hastighet.  Om du sätter in 0.1c i formeln för gamma bör du få ungefär 1.005.

 2. Det där med din senaste formel för gamma förstår jag inte hur du får då jag bara vet att gamma = 1/sqrt(1-(v/c)^2) ?

Ja, det kan se lite konstigt ut. Men det är faktiskt samma sak.

$W=mc^2=m_0\gamma c^2$

Där faktorn $\gamma$ talar om hur mycket massan har ökat till följd av hastigheten v enligt det samband du anger ovan.

När massan ökar kommer också energin öka (det är egentligen samma sak, bortsett från faktorn $c^2$).

Vi vet hur mycket energin ökar till följd av fältet, nämligen $W_k=Uq$.

Om vi från början hade energin $W_0=m_0c^2$ kan vi teckna den totala energin $W=W_0+W_k$.

Och slutligen sätter vi ihop uttrycken

$W=W_0+W_k=m_0c^2\gamma=W_0\gamma$

$\gamma=\frac{W_0+W_k}{W_0}$

Guggle skrev :

 2. Det där med din senaste formel för gamma förstår jag inte hur du får då jag bara vet att gamma = 1/sqrt(1-(v/c)^2) ?

(...)

Om vi från början hade energin $W_0=m_0c^2$ kan vi teckna den totala energin $W=W_0+W_k$.

 

(...)

Borde inte energin från början för protonen vara den potentiella energin W(p) = qU?

Nej. Från början var protonen stilla, och dess energi motsvarade dess massa.

smaragdalena skrev :

Nej. Från början var protonen stilla, och dess energi motsvarade dess massa.

Precis, den potentiella energin är lagrad i fältet.

smaragdalena skrev :

Nej. Från början var protonen stilla, och dess energi motsvarade dess massa.

Är inte potentiell energi då partiklar står stilla i plattan med samma laddning?

Kombinatorik skrev :

smaragdalena skrev :

Nej. Från början var protonen stilla, och dess energi motsvarade dess massa.

Är inte potentiell energi då partiklar står stilla i plattan med samma laddning?

Jag föreslår att du skapar en ny tråd för varje fråga du undrar över. Den här tråden handlade om relativitetsteori och nu pratar du om energier i olika former. :) Om du gör nya trådar så blir det lättare att hålla isär allting,

emmynoether skrev :

Kombinatorik skrev :

Visa föregående citat

smaragdalena skrev :

Nej. Från början var protonen stilla, och dess energi motsvarade dess massa.

Är inte potentiell energi då partiklar står stilla i plattan med samma laddning?

Jag föreslår att du skapar en ny tråd för varje fråga du undrar över. Den här tråden handlade om relativitetsteori och nu pratar du om energier i olika former. :) Om du gör nya trådar så blir det lättare att hålla isär allting,

Men om jag skapar en ny tråd så kommer det bli svårt att återkoppla till relativitetsteorin igen. Detta på grund av att mina frågor har med att jag inte förstår bitarna jag får om relativistisk respektive icke-relativistiskt.