Fysikens lagar är ekvivalenta i alla koordinatsystem?

Vi tar en omväg till elektromagnetism, tänk dig att vi skall studera en liten partikel med massa m och laddning q på något avstånd r kring en mycket större (som vi kan betrakta stationär) partikel med laddning Q. Om du tittar på Coulombs kraftlag (där jag struntar i alla ointressanta konstanter) 

$F = \frac{q Q}{r^2}$

och sedan använder denna i Newtons andra $F = ma$ så får man som bekant att 

$a = \frac{qQ}{mr^2}$.

Poängen här är att partikelns acceleration beror på laddningarna hos båda partiklarna och den lilla partikelns massa, eller tröghet. En tyngre partikel är svårare att accelerera än en lättare med hjälp av elektromagnetism.

Om vi istället tittar på gravitationskraften mellan en liten partikel med massa m  och en mycket större partikel med massa M så har vi Newtons gravitationslag (där jag igen ignorerar konstanter)

$F = \frac{mM}{r^2}$.

Om du jämför denna med Coulombs lag så ser du att gravitationens "laddningar" är massorna själva, detta har ingenting alls att göra med tröghet utan detta relaterar enbart storleken på kraften till dess källor som är massorna. Använder vi detta i Newtons andra, som alltså relaterar till trögheten, så får vi som bekant att 

$ma = \frac{mM}{r^2}$.

Det är här Einsteins ekvivalensprincip kommer in i bilden, i VL här dyker massan upp som en tröghet hos partikeln och i HL som en slags "graviationsladdning" som ger upphov till gravitationskraft. Dessa är ursprungligen helt orelaterade till varandra och det finns ingen anledning att de borde vara lika, men naturen säger att dem är det och det var detta som Einstein använde sig av.

Byt nu ut partikeln med massa m till ett par observatörer med olika massor och stäng in dessa i en låda utan fönster tillsammans med lite labbutrustning. Vi börjar nu med att placera denna långt ute i tomma rymden och låter dem utföra något experiment, kanske kasta en boll eller så. Placera nu lådan på ett avstånd R från en planet och låt den falla fritt ner mot planeten. Vi låter nu observatörerna utföra samma experiment, vad skulle de uppleva? Alla observatörer faller med samma hastighet tillsammans med lådan och all labbutrustningen, resultatet av experimentet blir således den samma som när det utfördes ute i tomma rymden. Eftersom lådan inte har några fönster och alla experiment ger samma svar så finns det alltså ingenting som observatörerna kan göra för att ta reda på om de faller fritt mot en planet eller flyter omkring ute i rymden där ingen gravitationskraft verkar. Detta är precis vad (svaga) ekvivalensprincipen handlar om:

"Fysikens lagar i en referensram som faller fritt i ett gravitationsfält är den samma som i ett inertialsystem utan gravitation".

Som svar på fråga två: Lokalt ja, generellt nej. 

Relativitetsteorin säger bara att ljusets hastighet är densamma för alla observatörer som faller fritt och att inget koordinatsystem är mer "rätt" än något annat. Du skulle alltså kunna accelerera med hjälp av en raketmotor eller så och inget hindrar dig från att fortfarande välja dina koordinater så att de följer med dig. Detta är en variant av något som kallas Rindlerkoordinater och om du låter accelerationen vara a och färdriktningen x så skulle du observera att

$v_{ljus} = c(1+\frac{a}{c^2}x)$.

Notera att vid $x = 0$ så är ljusets hastighet c (därav svaret att det stämmer lokalt), men om du till exempel väljer $x= -c^2/a$ så ser du att ljusets hastighet observeras vara noll. Denna punkt kallas Rindlerhorisonten och liknar (i den meningen) händelsehorisonten för ett svart hål. Notera att ingenting fysikaliskt konstigt händer vid denna punkt, det är en konsekvens av ditt val av koordinatsystem.

a kan mätas med accelerometer som geologer använder i sitt arbete. De kan mäta väldigt små variationer i g och därmed hitta olja eller annat av intresse. Om jag sitter i en bil utan fönster kan jag också mäta accelerationen och även dess variationer dvs da/dt.

Eudoxos skrev:

a kan mätas med accelerometer som geologer använder i sitt arbete. De kan mäta väldigt små variationer i g och därmed hitta olja eller annat av intresse. Om jag sitter i en bil utan fönster kan jag också mäta accelerationen och även dess variationer dvs da/dt.

 En fritt fallande accelerometer skulle ge utslaget noll, trots att den accelererar. Du skulle alltså inte kunna använda en sådan i ditt experiment i den stängda lådan för att ta reda på detta. En accelerometer använder sig av just trögheten.