Fysikdel av matematik-fysikprov 2013 uppgift 19

Att $v(x)=\frac{k}{x}$ är samma sak som att säga

$\frac{dx}{dt}=\frac{k}{x}$

Det här känner vi igen! Visst ser det ut som en (enkel) separabel diff ekvation? Kan du lösa den?

När du har ett uttryck för $x(t)$ (och bestämt eventuell integrationskonstant på ett bekvämt sätt) är det enkelt att lösa resten av uppgiften.

Beräkna arean med en integral istället. Då får du ett exakt värde.

EDIT: Tolkade uppgiften fel.

Smaragdalena skrev:

Beräkna arean med en integral istället. Då får du ett exakt värde.

Vilken area? Vad får den för enhet? Vad ska den användas till?

En annan väg att gå är att införa en ny funktion:

$g(x) = \frac{1}{v(x)} = \frac{x}{k}$

Eftersom hastigheten har enheten meter per sekund, har den här omvända funktionen enheten sekund per meter. Den beskriver hur lång tid nästa meter tar att färdas (vilket blir längre och längre, eftersom hastigheten minskar).

Kan du lista ut hur den funktionen är användbar?

$$\begin{gathered} \frac{dx}{dt}=\frac{1}{4x} \\ dt = 4xdx \\ {\int }_0^{t}dt={\int }_1^{2}4xdx \end{gathered}$$

Jag är fundersam på om man på gymnasienivå skulle kunna använda Eulers stegmetod och visa att tiden konvergerar mot 6 sekunder när steglängden går mot noll.

Det är givetvis enklare att integrera differentialekvationen men jag är ändå fundersam på om man har verktyg nog för ovan.