Fysik lagrangian

Jag är förrvirrad. Såhär har jag börjat iallafall:

L=T-V

$T = \frac{1}{2} m {(\dot{x} - \dot{y})}^{2} + \frac{1}{2} m {(\dot{y} - \dot{x})}^{2} = m (\overset{}{{\dot{y}}^{2} - 2 \dot{y} \dot{x} + {\dot{x}}^{2}}) V = \frac{1}{2} k x^{2} - \frac{1}{2} k y^{2} + \frac{1}{2} k' {(x - y)}^{2} = \frac{1}{2} k (x^{2} - y^{2}) + \frac{1}{2} k' {(x - y)}^{2} L = T - V = m (\overset{}{{\dot{y}}^{2} - 2 \dot{y} \dot{x} + {\dot{x}}^{2}}) + \frac{1}{2} k (y^{2} - x^{2}) - \frac{1}{2} k' {(x - y)}^{2}$

Vi har två generaliserade koordinater, därför blir det två diffisar.

$\frac{d}{d t} (\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}) - \frac{\partial L}{\partial x} = 0 2 m (\overset{. .}{x} - \overset{. .}{y}) + k x + k' (\overset{. .}{x} - \overset{. .}{y}) = 0 (1) \frac{d}{d t} (\frac{\partial L}{\partial \dot{y}}) - \frac{\partial L}{\partial y} = 0 2 m (\overset{. .}{y} - \overset{. .}{x}) - k y + k' (\overset{. .}{x} - \overset{. .}{y}) = 0 (2)$

Detta känns inte rätt. Har ni några tips på hur man ska välja utgångspotentialnivån och teckentips?

Blir det inte

T = $\frac{1}{2} m ({\dot{x}}^{2} + {\dot{y}}^{2})$

V = $\frac{1}{2} k (x^{2} + y^{2}) + \frac{1}{2} k' {(x + y)}^{2}$ ?

PATENTERAMERA skrev:
Blir det inte

T = $\frac{1}{2} m ({\dot{x}}^{2} + {\dot{y}}^{2})$

V = $\frac{1}{2} k (x^{2} + y^{2}) + \frac{1}{2} k' {(x + y)}^{2}$ ?

Hmm, mycket möjligt. I T, borde inte det isåfall vara -y? Då dem är motsatta riktning?
För V, varför x+y? Tänker att den ena drar ju ut medans den andra drar in och därför motsatta tecken?

Du har ju definierat y som positiv åt vänster.

PATENTERAMERA skrev:
Du har ju definierat y som positiv åt vänster.

Absolut. Men tänker själva energin om koordinatsystemet är vanliga xy. Borde inte energin bli negativ i förhållande till att positiv generellt väljs åt höger och uppåt.

Du har två former av energi. Kinetisk energi (är aldrig negativ) och elastisk energi i fjädrarna (kan inte heller bli negativ). Så varför skulle du få negativ energi någonstans?

PATENTERAMERA skrev:
Du har två former av energi. Kinetisk energi (är aldrig negativ) och elastisk energi i fjädrarna (kan inte heller bli negativ). Så varför skulle du få negativ energi någonstans?

Du har en mycket bra poäng här :) Jag börjar hänga med i svängarna nu. Skulle du kunna förklara vad du har valt för utgångsläge för potentialen här för att få dessa fina uttryck? Vet att det skiljer sig rejält om man tar fel.

Säg att dina ekvationer nu är korrekta, Då får vi:

$m \overset{. .}{x} + k x + k' (x + y) = 0 (1) m \overset{. .}{y} + k y + k' (x + y) = 0 (2)$ hur löser vi denna?

pepsi1968 skrev:
PATENTERAMERA skrev:
Du har två former av energi. Kinetisk energi (är aldrig negativ) och elastisk energi i fjädrarna (kan inte heller bli negativ). Så varför skulle du få negativ energi någonstans?

Du har en mycket bra poäng här :) Jag börjar hänga med i svängarna nu. Skulle du kunna förklara vad du har valt för utgångsläge för potentialen här för att få dessa fina uttryck? Vet att det skiljer sig rejält om man tar fel.

Jag antar att fjädrarna har sin naturliga ospända längd då x = y = 0. Energin som lagras i en fjäder är (1/2)k ${(∆ l)}^{2}$ , där $Δ l$ är längdförändringen från ospänd längd.

pepsi1968 skrev:
Säg att dina ekvationer nu är korrekta, Då får vi:

$m \overset{. .}{x} + k x + k' (x + y) = 0 (1) m \overset{. .}{y} + k y + k' (x + y) = 0 (2)$ hur löser vi denna?

Du kan dra ekvation 2 från ekvation 1 och få en enkel diffekvation för z = x - y. Sedan kan du lägga i hop ekvationerna och få en enkel diffekvation för w = x + y.

Tillägg: 17 apr 2023 22:23

Visa spoiler

Vi drar (2) från (1) och erhåller

$m (\ddot{x} - \ddot{y}) + k (x - y) = 0$ .

Vi kan se detta som en diffekvation för x-y, med den välkända lösningen

x-y = $A \cos (ω t + α)$ (3), där $ω = \sqrt{\frac{k}{m}}$ .

Om vi lägger i hop (1) och (2) så erhåller vi

$m (\ddot{x} + \ddot{y}) + (k + 2 k') (x + y)$ .

Vi kan se detta som en diffekvation för x+y, med den välkända lösningen

x+y = $B \cos (Ω t + β)$ (4), där $Ω = \sqrt{\frac{k + 2 k'}{m}}$ .

Genom att kombinera (3) och (4) så får vi slutligen

$[\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix}] a \cos (ω t + α) + [\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}] b \cos (Ω t + β)$ .

Svara

Visa senaste svar