Fyrhörnings area

Visa hur du har   försökt, så är det lättare för oss att hjälpa dig. Vi som svarar här är bra på matte, men vi är usla tankeläsare. Din tanke att dela upp fyrhörningen i två trianglar vekar vettig. På vilket sätt kan det hjälpa dig att du vet att fyrhörningen är inskriven i en cirkel?

Geometri - börja med att RITA - rita NOGGRANNT - rita SKALENLIGT
Jag har ingen lösning än, men jag ser att det går att få in fyrhörningen i en cirkel
och eftersom det går, och går bara på ett sätt, så går det att räkna ut också.
Kan man kanske använda cosinussatsen för alla de fyra trianglarna, för att räkna ut radien?
För om man vet radien så kan varje triangels area räknas ut.

larsolof skrev:

Geometri - börja med att RITA - rita NOGGRANNT - rita SKALENLIGT
Jag har ingen lösning än, men jag ser att det går att få in fyrhörningen i en cirkel
och eftersom det går, och går bara på ett sätt, så går det att räkna ut också.
Kan man kanske använda cosinussatsen för alla de fyra trianglarna, för att räkna ut radien?
För om man vet radien så kan varje triangels area räknas ut.

Om du använder figuren ovan och markerar det nedersta vänstra hörnet med A och sedan medurs B,C och D.
Dra sedan en linje mellan B och D vilket delar fyrhörningen i två trianglar, ABD resp BCD.
Summan av dessa två trianglars area är den eftersökta arean. Kalla t ex vinkeln i hörnet A för $\alpha$. Då kan arean för ABD, $A_1$,beräknas med areasatsen.
Arean för BCD, $A_2$,kan även den beräknas med areasatsen. Dessutom har vinkeln C, $\gamma$   , ett enkelt samband med $\alpha$
Återstår därefter att bestämma vinkeln $\alpha$

Det kan t ex göras genom att använda cos-satsen på trianglarna ABD och BCD med sidan BD=x som gemensam obekant i ekvationerna, dvs ur detta ekvationssystem kan vinkeln $\alpha$ beräknas.

Säg till om du behöver mer hjälp.

Om vinkeln i hörnet A kallas för $\alpha$ och vinkeln i hörn C för $\gamma$,så är summan av dessa vinklar $180°$
Således är $\gamma =180-\alpha$

Areasatsen ger nu: $A_1=\frac{8·11}{2}\sin \alpha$ och $A_2=\frac{5·6}{2}\sin (180-\alpha ) = \frac{5·6}{2}\sin \alpha$ ,eftersom sin för en vinkel=sin för(180-vinkeln)

Förenklat fås totalarean: $A=A_1+A_2=59·\sin \alpha$

Återstår att beräkna vinkeln $\alpha$
Kan göras genom att använda cos-satsen på de två trianglarna ovan och t ex kalla den gemensamma sidan för x.
Då får vi 2 ekvationer med 2 obekanta, vilket kan lösas, dvs eliminera x.

$x^2={11}^2+8^2-2·11·8·\cos \alpha \left(1\right)$
$x^2=5^2+6^2-2·5·6·\cos (180-\alpha ) \left(2\right)$

Använder vi sedan sambandet $\cos (180-\alpha )=-\cos \alpha$så blir det efter förenkling $\cos \alpha =\frac{124}{236}$
Då kan slutligen totala arean för fyrhörningen bestämmas.

Hur gick det med den här uppgiften? 

Det är ju en elegant lösning Henning visar. Visst är det en svår uppgift?

Det måste ju även gå att räkna ut cirkelns radie, eftersom det bara går
att rita figuren på ett sätt, men hur kan man göra det?