Fyrhörning i en cirkel
En fyrhörning med sidorna 5,6,8 och 11 cm är inskriven i en cirkel. Beräkna fyrhörningens area.
Jag vet inte hur jag ska beräkna arean av fyrhörningen. Jag vet att motsatta vinklar i en fyrhörning som är inskriven i en cirkel ger 180 grader men jag kommer inte längre fram. Och en sak till, hur kan jag vara säker på om den här fyrhörningen ens är den rätta fyrhörningen? Jag har till exempel kunnat rita två olika figurer hittills.
Jag vet inte riktigt, men jag skulle börja med att rita linjer från cirkelns centrum till de fyra hörnen.
Laguna skrev:Jag vet inte riktigt, men jag skulle börja med att rita linjer från cirkelns centrum till de fyra hörnen.
Jag har nu löst uppgiften men jag fattar inte varför den bara får en lösning? Kan inte fyrhörningen ha olika area beroende på hur sidorna sitter?
Lösryckta tankar, kanske inte ger något:
I din bildade fyrhörning kan du rita in två stycken diagonaler mellan hörnen som ej är direkt anslutna till varandra. På din bild skulle det motsvara att rita ytterligare en streckad linje mellan 5-8-hörnet och 6-11-hörnet.
Varje hörna i fyrhörningen blir därmed indelad i två stycken vinklar, och diagonal + två sidor i fyrhörningen bildar trianglar.
Något som kan vara värt att ha i åtanke är att alla randvinklar till samma cirkelbåge är lika stora, vilket gör att vinkeln på bilden mellan 5-sidan och den utritade diagonalen är samma som mellan 11-sidan och den ej utritade diagonalen, eftersom båda utgår från samma cirkelbåge, den som indirekt har markerats med en 8. Samma resonemang kan föras för alla fyra cirkelbågar som bildas parvis med hörnen i fyrhörningen.
Det väsentliga med detta är att vi därmed kan dela in vår fyrhörning i trianglar, och sedan finns det sinus-satser, cosinus-satser och area-satser som man kan utnyttja för att förhoppningsvis lösa uppgiften.
Oj, jag missade att du redan lyckats lösa uppgiften, och bara ville få koll på varför det blir samma area oberoende av hur sidordningen är.
Det finns 4! = 24 ordningar vi kan placera sidorna i.
Men ordningen {5, 6, 11, 8} är identisk med {6, 11, 8, 5}, och så blir fallet för samtliga ordningar. Varje ordning kan förskjutas upp till 4 steg och ge samma fyrhörning roterad, vilket ger 4!/4= 6 möjliga fyrhörningar.
Om vi sedan tar en inverterad ordning kommer vi få exakt samma fyrhörning fast inverterad, vilket ger samma area i slutändan. Detta ger att de 6 olika fyrhörningarna i själva verket blir 3.
Så då är det i slutändan endast tre fyrhörningar, {5, 6, 11, 8}, {5, 6, 8, 11} och {5, 11, 6, 8} . Pröva att använda samma uträkning som du gjorde på den du räknat ut på en av de som du ej räknat ut. Om det alltid blir samma lär du upptäcka det.
Och nu kom jag på att du inte ens behöver räkna ut det flera gånger om:
Arean av fyrhörningen med sidordningen {5, 6, 11, 8} kan man se som arean av två trianglar: en där sidorna är 5 & 6 & diagonalen som förenar dessa, en där sidorna är 11 & 8 & samma diagonal.
Arean av fyrhörningen med sidordningen {5, 6, 8, 11} kan man se som arean av två trianglar: en där sidorna är 5 & 6 & diagonalen som förenar dessa, en där sidorna är 8 & 11 & samma diagonal.
Den första triangeln i de båda fyrhörningarna är exakt samma, den andra är identisk så när som på en spegling. Mao. har de samma area.
Man kan föra ett likartat resonemang för den sista sidordningen.
Hej!
Det kan användas cosinus torem i detta fråga.
Vet du det?
