Fylla ut ON-bas, gör rätt (tror jag) men skiljer sig från facit?

Jag hade nog gjort som du för att hitta en bas i det ortogonala komplementet. Vi kan kalla basvektorerna för u1 och u2. 

Välj sedan en av de vektorerna som tredje basvektor i ON-basen.

Den sista basvektor kan du hitta genom att hitta s och t så att 

(s*u1 + t*u2)*u1 = 0

Dr. G skrev:

Jag hade nog gjort som du för att hitta en bas i det ortogonala komplementet. Vi kan kalla basvektorerna för u1 och u2. 

Välj sedan en av de vektorerna som tredje basvektor i ON-basen.

Den sista basvektor kan du hitta genom att hitta s och t så att 

(s*u1 + t*u2)*u1 = 0

Hur ska jag ställa upp det sista du skrev i en uträkning?

Menar du att jag ska ställa upp ett ekvationssytem för de villkor som gäller för att vektorn ska vara i det underrum som s*u1 och s*u2 spänner upp, och samtidigt vara ortogonal med u1?

Vektorerna $f_3$ och $f_4$ spänner tillsammans ett underrum vinkelrätt mot dina två första basvektorer.

Alltså räcker det med att du från $f_4$ drar bort projektionen av $f_ 4$ på $f_3$ för att erhålla en vektor som är vinkelrät mot $f_3$ och på köpet vinkelrät mot övriga basvektorer.

$e_4=f_4-\frac{\langle f_3,f_4\rangle}{\lVert f_3 \rVert^2}f_3$

Glöm inte att slutligen normera de två sista basvektorerna.

Jroth skrev:

Vektorerna $f_3$ och $f_4$ spänner tillsammans ett underrum vinkelrätt mot dina två första basvektorer.

Alltså räcker det med att du från $f_4$ drar bort projektionen av $f_ 4$ på $f_3$ för att erhålla en vektor som är vinkelrät mot $f_3$ och på köpet vinkelrät mot övriga basvektorer.

$e_4=f_4-\frac{\langle f_3,f_4\rangle}{\lVert f_3 \rVert^2}f_3$

Glöm inte att slutligen normera de två sista basvektorerna.

Smart! Då blir det relativt simpelt. Du har inte någon aning om hur de troligen fått fram vektorerna i facit?

Hej,

Underrummet $U$ till $\mathbb{R}^4$ är det linjära höljet av de två vektorerna $f_1$ och $f_2$. Det ortogonala komplementet $U^\perp$ består av alla vektorer $x=(x_1,x_2,x_3,x_4)$ i $\mathbb{R}^4$ som är ortogonala mot $f_1$ och mot $f_2$.

    $x \cdot f_1 = 0 \implies 2x_1+x_2+0x_3+x_4 = 0$

och

    $x \cdot f_2 = 0 \implies 2x_1-6x_2+x_3+2x_4=0.$

Dessa två ekvationer sammanfattas i matrisekvationen

    $\begin{pmatrix}2&1&0&1\\2&-6&1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$

som löses via Gausseliminering för att finna hur vektor $x \in U^\perp$ ser ut.