Funktionsuttryck

pepsi1968 skrev:

"Bestäm ett funktionsuttryck som har en lokal maximipunkt i (1,2) och en lokal minimipunkt i (5, -4)"

Jag gjorde ett ekvationsystem med hjälp av dessa (som jag själv tänker är logiska?): f(1)=2, f(5)=-4, f''(1)=-3 (<0), f''(5)=5 (>0). Sedan gjorde jag somsagt ett ekvationsystem och kom fram till $f\left(x\right)=\frac{x^3}{3}-2,5x^2+\frac{53x}{12}-5,25$Detta ser utsåhär:

Som ni ser blir det inte helt rätt. Max punkten ska vara där F är och min där E är. 

Så vad tros det kan ha blivit fel? Mina punkter, slarvfel när jag gjort ekvationsystemet? (Har tittat igenom flertal gånger). Tips?

Det är svårt att säga vad som blivit fel eftersom du inte visar dina beräkningar. Men en orsak till att dina extrempunkter hamnar på fel ställen är troligtvis att du verkar ha glömt att ta med de två sambanden

• f'(1) = 0
• f'(5) = 0

Yngve skrev:

pepsi1968 skrev:

"Bestäm ett funktionsuttryck som har en lokal maximipunkt i (1,2) och en lokal minimipunkt i (5, -4)"

Jag gjorde ett ekvationsystem med hjälp av dessa (som jag själv tänker är logiska?): f(1)=2, f(5)=-4, f''(1)=-3 (<0), f''(5)=5 (>0). Sedan gjorde jag somsagt ett ekvationsystem och kom fram till $f\left(x\right)=\frac{x^3}{3}-2,5x^2+\frac{53x}{12}-5,25$Detta ser utsåhär:

Som ni ser blir det inte helt rätt. Max punkten ska vara där F är och min där E är. 

Så vad tros det kan ha blivit fel? Mina punkter, slarvfel när jag gjort ekvationsystemet? (Har tittat igenom flertal gånger). Tips?

Det är svårt att säga vad som blivit fel eftersom du inte visar dina beräkningar. Men en orsak till att dina extrempunkter hamnar på fel ställen är troligtvis att du verkar ha glömt att ta med de två sambanden

• f'(1) = 0
• f'(5) = 0

aha logiskt! Tack. Men om jag använder de två sambanden blir det totallt 6st. Om jag har en tredjegradare är de bara 4 variabler dvs att de blir svårt att använda alla 6 samband? eller är jag bara trött?

pepsi1968 skrev:

Yngve skrev:

Visa föregående citat

pepsi1968 skrev:

"Bestäm ett funktionsuttryck som har en lokal maximipunkt i (1,2) och en lokal minimipunkt i (5, -4)"

Jag gjorde ett ekvationsystem med hjälp av dessa (som jag själv tänker är logiska?): f(1)=2, f(5)=-4, f''(1)=-3 (<0), f''(5)=5 (>0). Sedan gjorde jag somsagt ett ekvationsystem och kom fram till $f\left(x\right)=\frac{x^3}{3}-2,5x^2+\frac{53x}{12}-5,25$Detta ser utsåhär:

Som ni ser blir det inte helt rätt. Max punkten ska vara där F är och min där E är. 

Så vad tros det kan ha blivit fel? Mina punkter, slarvfel när jag gjort ekvationsystemet? (Har tittat igenom flertal gånger). Tips?

Det är svårt att säga vad som blivit fel eftersom du inte visar dina beräkningar. Men en orsak till att dina extrempunkter hamnar på fel ställen är troligtvis att du verkar ha glömt att ta med de två sambanden

• f'(1) = 0
• f'(5) = 0

aha logiskt! Tack. Men om jag använder de två sambanden blir det totallt 6st. Om jag har en tredjegradare är de bara 4 variabler dvs att de blir svårt att använda alla 6 samband? eller är jag bara trött?

Du behöver inte sambanden med andraderivatorna.

Det räcker med följande metod:

Sätt $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ 

Derivera, sätt upp ekvationssystemet med de övriga sambanden och lös det.

Du kommer då att få två möjliga värden på $a$

Endast ett av dessa värden gör att (1,2) blir en maximipunkt och (5,-4) en minimipunkt. Vilket ser du genom att rita och fundera.

-----------

Alternativ lösning:

Låt $f(x)$ vara ett tredjegradspolynom.

Då är $f'(x)$ ett andragradspolynom.

Skriv $f'(x)$ på faktoriserad form, dvs $f'(x)=k(x-x_1)(x-x_2)$.

Eftersom det ska gälla att $f'(1)=f'(5)=0$ så måste vi ha att $f'(x)=k(x-1)(x-5)$.

Multiplicera ihop och derivera fram $f''(x)$

Välj nu $k$ så att min- och maxpunkterna hamnar rätt, dvs så att $f''(1)>0$ och $f''(5)<0$.

Nu har du ett uttryck för $f'(x)$ från vilket du kan hitta ett uttryck för $f(x)$ genom att "antiderivera" $f'(x)$.

Yngve skrev:

pepsi1968 skrev:

Visa föregående citat

Yngve skrev:

pepsi1968 skrev:

"Bestäm ett funktionsuttryck som har en lokal maximipunkt i (1,2) och en lokal minimipunkt i (5, -4)"

Jag gjorde ett ekvationsystem med hjälp av dessa (som jag själv tänker är logiska?): f(1)=2, f(5)=-4, f''(1)=-3 (<0), f''(5)=5 (>0). Sedan gjorde jag somsagt ett ekvationsystem och kom fram till $f\left(x\right)=\frac{x^3}{3}-2,5x^2+\frac{53x}{12}-5,25$Detta ser utsåhär:

Som ni ser blir det inte helt rätt. Max punkten ska vara där F är och min där E är. 

Så vad tros det kan ha blivit fel? Mina punkter, slarvfel när jag gjort ekvationsystemet? (Har tittat igenom flertal gånger). Tips?

Det är svårt att säga vad som blivit fel eftersom du inte visar dina beräkningar. Men en orsak till att dina extrempunkter hamnar på fel ställen är troligtvis att du verkar ha glömt att ta med de två sambanden

• f'(1) = 0
• f'(5) = 0

aha logiskt! Tack. Men om jag använder de två sambanden blir det totallt 6st. Om jag har en tredjegradare är de bara 4 variabler dvs att de blir svårt att använda alla 6 samband? eller är jag bara trött?

Du behöver inte sambanden med andraderivatorna.

Det räcker med följande metod:

Sätt $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ 

Derivera, sätt upp ekvationssystemet med de övriga sambanden och lös det.

Du kommer då att få två möjliga värden på $a$

Endast ett av dessa värden gör att (1,2) blir en maximipunkt och (5,-4) en minimipunkt. Vilket ser du genom att rita och fundera.

-----------

Alternativ lösning:

Låt $f(x)$ vara ett tredjegradspolynom.

Då är $f'(x)$ ett andragradspolynom.

Skriv $f'(x)$ på faktoriserad form, dvs $f'(x)=k(x-x_1)(x-x_2)$.

Eftersom det ska gälla att $f'(1)=f'(5)=0$ så måste vi ha att $f'(x)=k(x-1)(x-5)$.

Multiplicera ihop och derivera fram $f''(x)$

Välj nu $k$ så att min- och maxpunkterna hamnar rätt, dvs så att $f''(1)>0$ och $f''(5)<0$.

Nu har du ett uttryck för $f'(x)$ från vilket du kan hitta ett uttryck för $f(x)$ genom att "antiderivera" $f'(x)$.

Såja, Efter mycket om- och men lyckades jag =) Tack så otroligt mycket för tipsen!