Funktionsteori - teori kring holomorfa funktioner

Hej!

Börja med att skriva ner Cauchy's integralformel. Hur ser den ut för en funktion (som uppfyller villkoren) $f(z)$? Vad händer om du tar beloppet av integralen? 

Nu har jag undrat i flera dagar så tar mig friheten att kidnappa den här 😉

Hur får man in en derivata i det hela och är det ett problem att randen inte är med i området som integreras runt?

Välj något $z$ i enhetsskivan. Om vi väljer $r>0$ tillräckligt litet så kan vi konstruera en cirkel $\gamma$ inuti enhetsskivan, centrerad i $z$ med radien $r$. $f$ är holomorf i området innanför $\gamma$ så Cauchys integralformel ger $f(z) = \frac{1}{2 \pi i} \int_{\gamma} \frac{f(w)}{w-z}dw$ Derivatan av detta ges av $f'(z) = \frac{1}{2 \pi i} \int_{\gamma} \frac{f(w)}{(w-z)^2}dw$ Ta beloppet på båda sidor för att få $|f'(z)| \leq \frac{1}{2 \pi} \frac{M}{r^2}2 \pi r = \frac{M}{r}$ När detta är gjort kan vi ta gränsvärdet av båda sidorna av olikheten då $r$ går mot $1-|z|$. Notera att vi inte kan välja $r = 1-|z|$ från början då $f$ måste vara holomorf på kurvan $\gamma$ för att vi ska kunna tillämpa Cauchys integralformel.