Funktionsderivata och hastighetsförändring.

Hej

Men risk för att jag läst för slarvigt och kanske ger ett felaktigt svar (ska strax på möte), men derivatan i en viss punkt (dvs. för ett visst x-värde) säger hur snabbt mängden ändras "per år" just vid den tidpunkten. Så, ditt svar -0.352409 för x = 150 betyder då att efter 150 år ändras mängden med -0.352409 gram per år".

Att det värde du fick på förändringshastigheten stämmer med "k*återstående kvantitet" är inget märkligt. Det är snarast ett tydligt exempel på hur exponentialfunktionen "beter sig", att den är lika med sin derivata, och i fallet med en faktor före t i exponenten blir det precis så som du skriver: $Y=280e^{kt}$ och $Y\text{'}=k*280e^{kt}=k*Y$. Därför "behöver" vi inte derivatan på annat sätt än att vi vet att den "råkar" vara just k*Y för denna typ av funktion.

Om det nu blev klarare av detta...

dobedidoo skrev :

 

Om det nu blev klarare av detta...

 Hehe inte riktigt ... så vi har ungefär e^''ränta''*tiden. 

Så när vi får frågan om en förändring och vi redan vet Y, kan vi helt och enkelt slippa deriveringen?

Daja skrev :

dobedidoo skrev :

 

Om det nu blev klarare av detta...

 Hehe inte riktigt ... så vi har ungefär e^''ränta''*tiden. 

Så när vi får frågan om en förändring och vi redan vet Y, kan vi helt och enkelt slippa deriveringen?

Nja... Om du vet helt säkert att funktionen är av sådan typ $(Y=C{e}^{kt})$, och känner dig helt trygg i att du då kan "slippa derivera", så må det väl vara ok för din egen del. Men, du lär ändå behöva motivera varför du kan göra så (om det t.ex. är på ett prov eller liknande) och då kanske du lika fullt hamnar i att derivera - för att motivera. Å andra sidan är det kanske inte något jättejobb att derivera en sådan funktion... Sätta konstanten (k i ditt fall) framför funktionsuttrycket är rimligen snabbare än att skriva en motivering till varför du inte behöver derivera.

Jo, jag skulle vilja skriva att förändring hastighet vid punkt P är lika med k*Y_p. Finns det något regel om detta?

Daja skrev :

Jo, jag skulle vilja skriva att förändring hastighet vid punkt P är lika med k*Y_p. Finns det något regel om detta?

 Förändringshastigheten $=y\text{'}\left(x\right)=$$C{e}^{-0,0016x}=k·280e^{-0,0016x}=k·y\left(x\right)$

smaragdalena skrev :

Daja skrev :

Jo, jag skulle vilja skriva att förändring hastighet vid punkt P är lika med k*Y_p. Finns det något regel om detta?

 Förändringshastigheten $=y\text{'}\left(x\right)=$$C{e}^{-0,0016x}=k·280e^{-0,0016x}=k·y\left(x\right)$

 Tack! Jag måste nog läsa det några ggr till men visst verkar det logiskt?

Vad en y=C e^kx funktion ''menar'' är att y=slut kvantitet= C (begynnelse kvantitet) * e (talet för den smidigast förändringen) ^ k (förändring konstant)* x(typ, tid).

Så konstant k multiplicerad med vilket y som helst, borde ge oss hur den här y förändras :)

Ja, men bara om det är en exponentialfunktion (som den här). Det är liksom själva finessen med exponentialfunktioner - att de växer snabbare ju mer de växer. (Med negativ exponent blir det naturligtvis att de avtar istället.)

Men det skulle inte funka med Y=C*a^x, som är ockå exponentiel, för den har inga "k" va?

Hej!

Jodå, den har också ett k-värde.

Du kan nämligen skriva $a^x$ som

    $\displaystyle e^{\ln a^x} = e^{x\ln a}\ .$

Du ser att k-värdet för $a^x$ är lika med $\ln a$.

Albiki

Daja skrev :

Men det skulle inte funka med Y=C*a^x, som är ockå exponentiel, för den har inga "k" va?

Albiki skrev :

Hej!

Jodå, den har också ett k-värde.

Du kan nämligen skriva $a^x$ som

    $\displaystyle e^{\ln a^x} = e^{x\ln a}\ .$

Du ser att k-värdet för $a^x$ är lika med $\ln a$.

Albiki

Daja skrev :

Men det skulle inte funka med Y=C*a^x, som är ockå exponentiel, för den har inga "k" va?

 Så i den här fallet kan jag multiplicera lna*y och får min y'. Genialt :)