Funktionsbegreppet

Den här tråden har du lagt på åk 9, men det är tydligt att den inte hör hemma där. Eftersom den är mer är 2 timmar gammal, kan du inte flytta den själv. Skicka PM till mig eller någon annan moderator så skall vi hjälp dig att flytta den till rätt nivå. /moderator

Skillnaden är att x är den oberoende variabeln som skall kunna anta samtliga värden inom definitionsmängden.

Sesame skrev :

Jag citerar kompendiet: "Låt oss betrakta punktmängden {(x,1) sådana att x hör till de reella talen}. Grafen till funktionen f(x)=1 sammanfaller med bilden av den punktmängden."

Mitt problem är att jag inte förstår vad det innebär att GRAFEN sammanfaller med BILDEN av punktmängden. Såvitt jag förstår ÄR grafen den geometriska representationen, dvs. bilden av punktmängden. Hurdå "sammanfaller", liksom? 

Men okej, jag visualiserar grafen som motsvarar punktmängden {(x,1) sådana att x hör till de reella talen} och ser att medan y-koordinaten förblir 1 så genomlöper grafen alla reella värden för x-koordinaten. 

Sedan fortsätter de såhär: "Det är dock inte alltid som en punktmängd faktiskt svarar mot grafen till en funktion. Låt oss t.ex i stället betrakta punktmängden punktmängden {(1,b) sådana att b hör till de reella talen}. Om det skulle finnas en funktion f(x) vars graf sammanfaller med bilden av punktmängden så skulle f(1) anta alla reella världen och det är ju inte tillåtet. En funktion kan bara anta ett värde i varje punkt."

I en tidigare tråd har jag fått förklarat för mig att bokstäverna är godtyckliga. b skulle alltså lika gärna kunna vara y. Men {(1,y) sådana att y hör till de reella talen} ser ut som en vertikal version av den horisontala {(x,1) sådana att x hör till de reella talen} så alltså betyder b inte i det här fallet y. 

Okej, så b betyder en viss punkt, inte y. Varför implicerar detta att "Om det skulle finnas en funktion f(x) vars graf sammanfaller med bilden av punktmängden så skulle f(1) anta alla reella världen"...? 

Tacksam för hjälp!

Fler frågor  följer... :p 

Nej, b är en godtycklig symbol och betyder här vilket reellt värde som helst.

Uttrycket

Punktmängden {(1,b) sådana att b hör till de reella talen}

betyder samma sak som uttrycket

Punktmängden {(1,y) sådana att y hör till de reella talen}

Denna punktmängd kan representeras av en vertikal linje i ett koordinatsystem med en horisontell x-axel, precis som du säger.

Ett villkor för att f(x) ska vara en funktion är att det för varje värde på x i definitionsmängden endast finns ett värde f(x) i värdemängden. Detta kallas för en injektiv avbildning och kan illustreras med att varje vertikal linje inom definitionsmängden endast skär grafen till f(x) på ett ställe. Detta villkor är inte uppfyllt för punktmängden ovan. Alltså motsvarar den inte en funktion f(x).

Tack, så mycket för förklaringen, Yngve! Jag blev förvirrad över att det stod b i stället för y och trodde att det var avgörande på något sätt. 

Du förklarar för mig att ett villkor för att f(x) ska vara en funktion är att varje element i definitionsmängden är avbildat på ett och endast ett element i värdemängden. Då finns det ingen funktion till punktmängden {(1,y) sådana att y hör till de reella talen} eftersom elementet 1 är avbildat på alla reella värden för y. Tack, jag förstår nu! 

Men du säger också att "Detta kallas för en injektiv avbildning och kan illustreras med att varje vertikal linje inom definitionsmängden endast skär grafen till f(x) på ett ställe". Jag förstår inte vad du menar med "varje vertikal linje INOM definitionsmängden" men om man bara tänker på vertikala linjer så verkar det ju som om en vertikal linje åtminstone sammanfaller med den här punktmängden? Men det totala sammanfallet räknas inte som en "skärning" då?  

Det är därför punktmängden (1,y) inte är en funktion. Om man väljer x-värdet 1 kan y vara vad som helst, d v s ha mer än 1 värde.

Sesame skrev :

Men du säger också att "Detta kallas för en injektiv avbildning och kan illustreras med att varje vertikal linje inom definitionsmängden endast skär grafen till f(x) på ett ställe". Jag förstår inte vad du menar med "varje vertikal linje INOM definitionsmängden" men om man bara tänker på vertikala linjer så verkar det ju som om en vertikal linje åtminstone sammanfaller med den här punktmängden? Men det totala sammanfallet räknas inte som en "skärning" då?  

Ja, den vertikala linjen x = 1 sammanfaller med punktmängden, dvs den "skär" grafen i inte bara en, utan i oändligt många punkter.

När vi går över till högskolenivå på matematiken börjar vi prata om avbildningar, som är en generalisering av funktionsbegreppet.

Jag tycker att Bruno Kevius här ger en bra kortfattad beskrivning av vad som avses med avbildning.

Där får du också förklaringen till din fråga i trådstarten, varför det i kompendiet står "bilden av punktmängden".

Hej!

Grafen till funktionen $f(x)=1$, där $x$ betecknar ett reellt tal, är samma sak som följande mängd. 

    $\text{Graf}(f) = \{(x,y)\in\mathbf{R}^2\,\:\.y=1\}.$

Om du ritar en teckning (en bild) av denna mängd på ett papper så får du en rak horisontell linje. 

Grafen är ett matematiskt objekt och bilden är ett fysiskt objekt på ett papper.

Albiki

Yngve skrev :

När vi går över till högskolenivå på matematiken börjar vi prata om avbildningar, som är en generalisering av funktionsbegreppet.

Jag tycker att Bruno Kevius här ger en bra kortfattad beskrivning av vad som avses med avbildning.

Där får du också förklaringen till din fråga i trådstarten, varför det i kompendiet står "bilden av punktmängden".

Jag tycker att Kevius ger en kortfattad beskrivning av vad som avses med avbildning, men jag skulle aldrig rekommendera den för en person som försöker förstå begreppet avbildning. Hans språk är onödigt komplicerat. 

Albiki