Funktions uttryck

Du kan sätta upp uttrycket för en allmän 3-gradsfunktion så här: $y=A{x}^3+B{x}^2+Cx+D$

Sedan kan du välja en av dessa oändligt många sådana funktioner som skär y-axeln t ex vid -4
Dvs D=-4

Nu kan du derivera funktionen  och första-derivatan ska vara 0 för x=2 - Då får du en ekvation med variablerna A,B och C ..(2)

Derivera ytterligare en gång och andra-derivatan ska vara 0 för x=2 - Då får du en ekvation med A och B..(3)

Slutligen ska ursprungsfunktionen passera (2,-3), vilket ger en ekvation med A,B,C och D. ..(1)

Ekvationssystemet kan du lösa på olika sätt.
T ex genom att börja med ekv(3) och uttrycka B i A och sedan gå vidare

Pröva slutligen din lösning (grafiskt?)

Kommer du ihåg någon funktion som har en terrasspunkt? Om du gör det kan vi ta den och modifiera den lite så den passar.

Henning skrev:

Du kan sätta upp uttrycket för en allmän 3-gradsfunktion så här: $y=A{x}^3+B{x}^2+Cx+D$

Sedan kan du välja en av dessa oändligt många sådana funktioner som skär y-axeln t ex vid -4
Dvs D=-4

Nu kan du derivera funktionen  och första-derivatan ska vara 0 för x=2 - Då får du en ekvation med variablerna A,B och C ..(2)

Derivera ytterligare en gång och andra-derivatan ska vara 0 för x=2 - Då får du en ekvation med A och B..(3)

Slutligen ska ursprungsfunktionen passera (2,-3), vilket ger en ekvation med A,B,C och D. ..(1)

Ekvationssystemet kan du lösa på olika sätt.
T ex genom att börja med ekv(3) och uttrycka B i A och sedan gå vidare

Pröva slutligen din lösning (grafiskt?)

Varför ska jag derivera två gånger?

Laguna skrev:

Kommer du ihåg någon funktion som har en terrasspunkt? Om du gör det kan vi ta den och modifiera den lite så den passar.

Ja tex y=x^3

Katarina149 skrev:

Henning skrev:

Du kan sätta upp uttrycket för en allmän 3-gradsfunktion så här: $y=A{x}^3+B{x}^2+Cx+D$

Sedan kan du välja en av dessa oändligt många sådana funktioner som skär y-axeln t ex vid -4
Dvs D=-4

Nu kan du derivera funktionen  och första-derivatan ska vara 0 för x=2 - Då får du en ekvation med variablerna A,B och C ..(2)

Derivera ytterligare en gång och andra-derivatan ska vara 0 för x=2 - Då får du en ekvation med A och B..(3)

Slutligen ska ursprungsfunktionen passera (2,-3), vilket ger en ekvation med A,B,C och D. ..(1)

Ekvationssystemet kan du lösa på olika sätt.
T ex genom att börja med ekv(3) och uttrycka B i A och sedan gå vidare

Pröva slutligen din lösning (grafiskt?)

Varför ska jag derivera två gånger?

Jo, för att för en terasspunkt är 2-aderivatan =0

Min metod är mer allmängiltig medan Lagunas väg är smidigare

Varför är andraderivatan noll då x=2?

Eftersom punkten (2,-3) är en terasspunkt. Se teori här

Okej alltså är andraderivatan noll då det är en terasspunkt. 

alltså gäller att 

andraderivatan av funktionen y är noll då x=2. 
vi vet också att funktionen y ska passera x=2 och y=-3

Precis - och även 1-a derivatan är 0 för x=2

så om det är en extrempunkt vid ett visst värde på x så är både första och andraderivatan lika med 0?

Nej, det gäller inte generellt.
1a-derivatan är 0 för max, min och terasspunkt.
Medan 2a-derivatan kan bestämma vilken typ av extrempunkt det är.

Men varför ska både andra och första derivatan vara 0 i den här uppgiften?

För att punkten i fråga är en terasspunkt enligt texten i uppgiften

Jaha okej, så när det är en terasspunkt så ska även andraderivatan vara 0. Medans om det är en Maxpunkt så ska andraderivatan vara mindre än 0 och om det är en minpunkt så ska det vara större än 0. Men varför ska jag utgå ifrån att det är en tredjegradsfunktion?

Så här får jag det till att bli

Du måste inte anta att det är en tredjegradsfunktion, men det är det polynom med lägst grad som kan ha terrasspunkt.

Nu kan du hitta a, b, c och d som uppfyller dina ekvationer. Det finns många lösningar.

Bra början.
Jag skulle föreslå att du börjar med ekv (2) och löser ut b, dvs uttrycker b i a.
För att sedan sätta in i ekv (1) och uttrycka c i a.
Och slutligen använda ekv (3) för att få ut vad a är. Men då måste du sätta ett lämpligt värde på d.

Kan jag anta att d=1?

för isf får jag följande värde 

Har du provat att sätta in x = 2?

Katarina149 skrev:

Kan jag anta att d=1?

för isf får jag följande värde 

I din första ekvation ska högra ledet var -3 och inte 0.

Det ger andra värden.
Och som Laguna påpekar så kan du testa ditt svar genom att sätta in x=2 och då ska y bli -3

På tal om vad olika derivator ska vara, så är det alltid den första av derivatorna som inte är 0 som talar om vilken form funktionen har i den punkten. Ifall den första är jämn (andraderivata, fjärdederivata osv) vänder funktionen, och om den är udda fortsätter den upp/ner istället.

Om andraderivatan är större än 0 då kommer funktionen att vara stigande, medans om andra derivatan är mindre än 0 då kmr funktionen att vara ej stigande utan avtagande

men är mitt svar rätt?

Dina 3 ekvationer med a,b och c är nästan rätt - 
De blir helt rätt om du sätter y=-3 i första ekvationen, dvs 8a+4b+2c+1=-3

Jobbar du med dessa ekvationer så får du värden på a,b och c och därmed en 3-gradsfunktion som uppfyller villkoren.

Du kan och bör pröva din lösning genom att sätta x=2 och kolla om du y=-3.
Du kan också rita upp grafen för att studera terasspunkten

Det ska alltså vara så här

Precis.
Då har du funnit en funktion som uppfyller villkoren*
Dvs $f\left(x\right)=-\frac{1}{2}{x}^3+3x^2-6x+1$

Det här är en mer komplett lösning . Jag antog att d ska vara 1 i min lösning.

Snyggt jobbat !