Funktioner & mängder

Tror att du letar efter nåt som inte finns. Detta är introduktionen av ett funktionsbegrepp för generella mängder, tidigare har du nog bara sett funktioner mellan tal. Den enda 'kopplingen' är att x och f(x) är element i mängder.

Detta funktionsbegrepp hänger ihop med 'den  gamla vanliga' så att de vanliga funktionerna är från (en delmängd av) de reella talen till (en delmängd av) de reella talen.

Med mängdlära kan man definiera en funktion på detta sätt.

En funktion f är en trippel (X, Y, R) bestående av två mängder X, Y och en en delmängd R av den kartesiska produkten X$\times$Y, där R uppfyller att för varje x$\in$X finns det precis ett y$\in$Y sådant att (x, y)$\in$R. Detta för x unika y brukar betecknas f(x).

X kallas definitionsmängd eller domän.

Y kallas målmängd eller kodomän.

R kallas funktionens graf.

f(x) brukar benämnas funktionens värde i x.

Ofta skriver man f: X$\to$Y, x$\mapsto$f(x) = någon form av definition/regel för att beräkna f(x).

I fall 1 så skulle vi få R = {(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 4)}. Detta uppfyller kraven på att vara grafen till en funktion.

I fall 2 får du R = {(a, 1), (a, 2), (c, 3), (d, 4)}. Detta uppfyller inte kraven på att vara grafen till en funktion. Kan du se varför? Det finns två orsaker.

Tack så jätte myxket för var:)

Den ena orsaken a har både 1 och 2. Dvs innebär detta att vid punka a dvs låt säga x1=a. Så om man skulle rita ut det på en graf så vet vi inte vart vi ska ”matcha” y- värdet dvs målmängden Y.

I min kod kallar de R till värdmämgd eller Vf. 

När du skriver karteritskiska hur menar du då?

Så kravet att det alltid bara finns ett element för från vardera element målmängd (Y) och vardera deffemtionsmängd (X) behövs uppfyllas? För att om värdemängden är produkten X•Y=vf/R skulle ju det innebära om

vi har 2 y som i fall 2 så vet man inte om värdemängden blir

• Vf ₁= a₁•y₁= a•1=1a
• Vf₂= a₁•y₂=a•2= 2a

Kan man då skriva kraven som

att

Vf ⊂Y: Värdemängd (Vf )är en delmängd i MÅLMÄNGD (Y)

Vf ⊂X: Värdemängd (Vf )är en delmängd i Df (deffintionsmängen)

Har även lite svårt att förstå det här med surjektiv vs injektiv funktion kopplat till exemplerna

surjektiv

i ex 3.7 (1) där ska man kunna skriva det som träffas ALLA element i Y av f. skrivas som..Vf = {1,2,3,4}=Y✅

medans för Ex. 3.10: Vf = {1} f INTE surjektiv❌ när f(a)=f(b)=f(c)=f(d)=1

injektiv: 

f är injektiv: om a≠b medför att f(a) ≠f(b). 
samma ex 3.7 är också injektiv : då Injektiv eftersom a,b,c,d ALLA avbildas på OLIKA element.✅

men att 3.10 f(a)=f(b)=f(c)=f(d)=1 INTE är injektiv. 

Maddefoppa skrev:

I min kod kallar de R till värdmämgd eller Vf. 

Nja, värdemängden är något annat.

V_f = {y$\in$Y: ($\exists$x$\in$X)((x, y)$\in$R)}.

Eller annorlunda uttryckt, mängden av alla värden y i målmängden för vilka det går att finna ett x i definitionsmängden sådant att y = f(x).

Maddefoppa skrev:

När du skriver karteritskiska hur menar du då?

Den kartesiska produkten av två mängder X och Y är mängden av alla ordnade par (x, y), där x ligger i X och y ligger i Y.

Se här.

Maddefoppa skrev:

Kan man då skriva kraven som

att

Vf ⊂Y: Värdemängd (Vf )är en delmängd i MÅLMÄNGD (Y)

Vf ⊂X: Värdemängd (Vf )är en delmängd i Df (deffintionsmängen)

Värdemängden är generellt en delmängd till målmängden.

Maddefoppa skrev:

Har även lite svårt att förstå det här med surjektiv vs injektiv funktion kopplat till exemplerna

surjektiv

i ex 3.7 (1) där ska man kunna skriva det som träffas ALLA element i Y av f. skrivas som..Vf = {1,2,3,4}=Y✅

medans för Ex. 3.10: Vf = {1} f INTE surjektiv❌ när f(a)=f(b)=f(c)=f(d)=1

 

injektiv: 

f är injektiv: om a≠b medför att f(a) ≠f(b). 
samma ex 3.7 är också injektiv : då Injektiv eftersom a,b,c,d ALLA avbildas på OLIKA element.✅

men att 3.10 f(a)=f(b)=f(c)=f(d)=1 INTE är injektiv. 

Korrekt.

Surjektiv: för varje y i Y så finns det åtminstone något x i X sådant att y = f(x).

Injektiv: f(x₁) = f(x₂) implicerar att x₁ = x₂.

Är ett krav då för att en funktion ska kunna vara surjektiv/ injektiv att den har en värdemängd?

Kan du ge exempel på en funktion som inte har en värdemängd?

Kanske f(x)=√x= där f går från Z—>Z dvs deffintionmängden tillhör heltalen talen och målmängden tillhör heltalen talen. 

deffinerad som: f(x)=-2

det finns inget reallt tall som uppfyller kravet. 

Men är osäker:)

Nja, när du definierar hur f(x) skall beräknas så måste resultatet alltid bli ett värde i den målmängd som du valt. Annars är funktionen korrekt definierad. Så din definition är inte en korrekt definition av en funktion.

Oki men korrekt deffintion om målmängd och deffintions mängd ingår i R?