Funktioner f o g

Det är rätt så här långt. Förenkla nu (ax+b)^2+1=a(x^2+1)+b.

Precis så!

Du måste ha precis lika många x^2, x och konstanter i HL och VL. Det ger dig ett ekvationssystem.

känns som jag komplicerar de ist för att förenkla 🙈

Du letar inte efter ett x-värde. Du ska ha VL = HL för alla x. Detta kan uppfyllas med rätt värden på konstanterna a och b.

Dvs. du kan använda fjärde raden du skrev. (Det nedanför den är inte användbart.)

Du har två tal $a$ och $b$ som ska bestämmas, så det bör räcka med två ekvationer för detta; välj alltså två x-värden och se vad kravet $f\circ g = g \circ f$ säger om $a$ och $b$.

• Om $x = 0$ blir $(f\circ g)(0) = 1+b^2$ som ska vara lika med $(g\circ f)(0)=a+b.$
• Om $x = 1$ blir $(f\circ g)(1)=1+a^2+b^2+2ab$ som ska vara lika med $(g\circ f)(1)=b+2a$.

Albiki skrev:

Du har två tal $a$ och $b$ som ska bestämmas, så det bör räcka med två ekvationer för detta; välj alltså två x-värden och se vad kravet $f\circ g = g \circ f$ säger om $a$ och $b$.

• Om $x = 0$ blir $(f\circ g)(0) = 1+b^2$ som ska vara lika med $(g\circ f)(0)=a+b.$
• Om $x = 1$ blir $(f\circ g)(1)=1+a^2+b^2+2ab$ som ska vara lika med $(g\circ f)(1)=b+2a$.

 Tack! De hade låst sig helt i skallen på mig. Undrar dock vad jag tänker för fel som gör att jag får ett felaktigt utfall?!?

Louiger skrev:

Albiki skrev:

Du har två tal $a$ och $b$ som ska bestämmas, så det bör räcka med två ekvationer för detta; välj alltså två x-värden och se vad kravet $f\circ g = g \circ f$ säger om $a$ och $b$.

• Om $x = 0$ blir $(f\circ g)(0) = 1+b^2$ som ska vara lika med $(g\circ f)(0)=a+b.$
• Om $x = 1$ blir $(f\circ g)(1)=1+a^2+b^2+2ab$ som ska vara lika med $(g\circ f)(1)=b+2a$.

 Tack! De hade låst sig helt i skallen på mig. Undrar dock vad jag tänker för fel som gör att jag får ett felaktigt utfall?!?

 

Albiki skrev:

Du har två tal $a$ och $b$ som ska bestämmas, så det bör räcka med två ekvationer för detta; välj alltså två x-värden och se vad kravet $f\circ g = g \circ f$ säger om $a$ och $b$.

• Om $x = 0$ blir $(f\circ g)(0) = 1+b^2$ som ska vara lika med $(g\circ f)(0)=a+b.$
• Om $x = 1$ blir $(f\circ g)(1)=1+a^2+b^2+2ab$ som ska vara lika med $(g\circ f)(1)=b+2a$.

 Kravet $1+b^2 = a+b$ sätts in i ekvationen $a^2+(1+b^2)+2ab=b+2a$ för att få

    $a^2+a+b+2ab=b+2a \iff a^2+2ab-a=0 \iff a(a+2b-1)=0$.

• Om $a = 0$ så måste $b$ uppfylla kravet

        $1+b^2 = 0+b \iff b^2-b+1=0 \iff (b-0.5)^2 + 0.75=0$ vilket är omöjligt.

• Det återstår att $a+2b-1 = 0 \iff a+b = 1-b$ vilket ger

        $1+b^2=1-b \iff 1+b^2+1+b \iff b(b+1)=0,$

    vilket är möjligt om $b=0$ eller $b=-1$.

När $b=0$ blir $a=1$ och när $b=-1$ blir $a=3$. 

Albiki, en fundering, du har väl egentligen inte visat att dessa värden på $a$ och $b$ uppfyller det givna sambandet för alla värden på $x$? Bara att om det finns $a$ och $b$ som gör att villkoret är uppfyllt så är det de kombinationer av värden som du bestämt genom att sätta  $x=0$ resp. $x=1$?

Albiki skrev:

Albiki skrev:

Du har två tal $a$ och $b$ som ska bestämmas, så det bör räcka med två ekvationer för detta; välj alltså två x-värden och se vad kravet $f\circ g = g \circ f$ säger om $a$ och $b$.

• Om $x = 0$ blir $(f\circ g)(0) = 1+b^2$ som ska vara lika med $(g\circ f)(0)=a+b.$
• Om $x = 1$ blir $(f\circ g)(1)=1+a^2+b^2+2ab$ som ska vara lika med $(g\circ f)(1)=b+2a$.

 Kravet $1+b^2 = a+b$ sätts in i ekvationen $a^2+(1+b^2)+2ab=b+2a$ för att få

    $a^2+a+b+2ab=b+2a \iff a^2+2ab-a=0 \iff a(a+2b-1)=0$.

• Om $a = 0$ så måste $b$ uppfylla kravet

        $1+b^2 = 0+b \iff b^2-b+1=0 \iff (b-0.5)^2 + 0.75=0$ vilket är omöjligt.

• Det återstår att $a+2b-1 = 0 \iff a+b = 1-b$ vilket ger

        $1+b^2=1-b \iff 1+b^2+1+b \iff b(b+1)=0,$

    vilket är möjligt om $b=0$ eller $b=-1$.

När $b=0$ blir $a=1$ och när $b=-1$ blir $a=3$. 

 Jo b=0, a=1 funkar vid insättning, men inte b=-1, a=3. De jag undrar är varför inte de sistnämnda fungerar vid insättning. Vid insättning av b=-1, a=3 ger de ju (3x-1)^2+1=3(x^2+1)-1 ==> 9x^2-6x+2=3x^2+3 vilket är två olika ekv. 

Dr. G skrev:

Du letar inte efter ett x-värde. Du ska ha VL = HL för alla x. Detta kan uppfyllas med rätt värden på konstanterna a och b.

 Med denna metod får man följande:

$f(g(x))=(ax+b)^2+1=a^2x^2+2axb+b^2+1$

$g(f(x))=a(x^2+1)+b=ax^2+a+b$

Alltså:

$x^2(a^2)+x(2ab)+1\cdot (b^2+1)=x^2(a)+x\cdot (0)+1\cdot (a+b)$

d.v.s.

$a^2=a$

$2ab=0$

$b^2+1=a+b$

Genom att endast lösa ekvationen för två värden på $x$: 0 och 1 tappades villkoret: $2ab=0$ bort. Det innebär att antingen är $a=0$ (fall 1) eller så är $b=0$ (fall 2).

tomast80 skrev:

Dr. G skrev:

Du letar inte efter ett x-värde. Du ska ha VL = HL för alla x. Detta kan uppfyllas med rätt värden på konstanterna a och b.

 Med denna metod får man följande:

$f(g(x))=(ax+b)^2+1=a^2x^2+2axb+b^2+1$

$g(f(x))=a(x^2+1)+b=ax^2+a+b$

Alltså:

$x^2(a^2)+x(2ab)+1\cdot (b^2+1)=x^2(a)+x\cdot (0)+1\cdot (a+b)$

d.v.s.

$a^2=a$

$2ab=0$

$b^2+1=a+b$

Genom att endast lösa ekvationen för två värden på $x$: 0 och 1 tappades villkoret: $2ab=0$ bort. Det innebär att antingen är $a=0$ (fall 1) eller så är $b=0$ (fall 2).

Ja, juste. Att jag inte tänkte på de. Tack! Nu fattar jag!