funktioner

Vad betyder det när du skriver f(x)=cos(pi,x)? Det skrivsättet är obekant för mig.

Om du sitter vid en dator kan du använda formelskrivaren för att skriva läsliga formler. Du hittar den genom att klicka på rotenur-tecknet längst up till höger i inskrivningsrutan. (Tyvärr finns inte formelskrivaren på mobilen - vill man skriva formler där behöver man använda LaTeX.)

Det står bara att f(x)=cos(πx) 

π är pi-talet, annars finns det ingen formel, vet inte hur jag ska skriva den...

nickifin skrev:

Det står bara att f(x)=cos(πx) 

π är pi-talet, annars finns det ingen formel, vet inte hur jag ska skriva den...

$$

 Nu blev det ju mycket tydligare.

f av Något är alltså cosinus för pi*Något

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=\cos \left(\mathrm{\pi x}\right) \\ \mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right)=\cos \left(\mathrm{\pi a}\right) \\ \mathrm{f}(3\mathrm{z}-8) =\hspace{0.17em}\cos \left(\mathrm{\pi }\right(3\mathrm{z}-8\left)\right) \end{gathered}$$

f av g(x) är alltså cosinus för pi*g(x)

Läs gärna mitt inlägg flera gånger, tills det låter självklart.

Fråga om något är oklart.

Bubo skrev:

nickifin skrev:

Det står bara att f(x)=cos(πx) 

π är pi-talet, annars finns det ingen formel, vet inte hur jag ska skriva den...

$$

 Nu blev det ju mycket tydligare.

f av Något är alltså cosinus för pi*Något

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=\cos \left(\mathrm{\pi x}\right) \\ \mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right)=\cos \left(\mathrm{\pi a}\right) \\ \mathrm{f}(3\mathrm{z}-8) =\hspace{0.17em}\cos \left(\mathrm{\pi }\right(3\mathrm{z}-8\left)\right) \end{gathered}$$

f av g(x) är alltså cosinus för pi*g(x)

 

Läs gärna mitt inlägg flera gånger, tills det låter självklart.

Fråga om något är oklart.

 Är det inte rätt med h(x)=cos (π,5x/6)   som jag hade skrivit då? Eller h(x)=cos (π, 25/6) när man sätter in x=5. 

nickifin skrev:

 Är det inte rätt med h(x)=cos (π,5x/6)   som jag hade skrivit då? Eller h(x)=cos (π, 25/6) när man sätter in x=5. 

 Ditt kommatecken gör att hela funktionsuttrycket ser märkligt ut. I ditt andra inlägg saknas kommatecknet och där är allt lättläst.

Men du verkar mena rätt:

$$\begin{gathered} h\left(x\right)=\cos (\mathrm{\pi }·\frac{5\mathrm{x}}{6}) \\ \mathrm{h}\left(5\right)=\cos (\mathrm{\pi }·\frac{25}{6}) \end{gathered}$$

Ja, jag hade skrivit fel såg jag, det finns inget kommatecken. Men hur kan man lösa detta? Vi har aldrig haft liknande uppgifter innan och jag vet inte ens var man börjar... 

Själva svaret har du ju fått rätt.

Jag har redan bett dig fråga om något är oklart i min förklaring ovan. Den kan vara knepig att hänga med i, så bara fråga...

Bubo skrev:

Själva svaret har du ju fått rätt.

Jag har redan bett dig fråga om något är oklart i min förklaring ovan. Den kan vara knepig att hänga med i, så bara fråga...

 Jag fattade hur den sammansatta funktionen ska se ut men sen ska detta räknas ut. Alltså det ska finnas ett svar för h(5) så cos(π.25/6) ska man kunna lösa på något sätt men jag vet inte hur, aldrig sett något liknande. 

Konstigt att du inte har träffat på det tidigare. I Ma4 lär man sig derivera sammansatta funktioner, men själva begreppet brukar införas tidigare i Ma1 eller Ma2 (så att man inte skall behöva lära sig allt krångligt samtidigt). Trigonometriska funktioner lär man sig i Ma4.

$h(5)=f(g(5))=\cos(\pi(g(5)))=\cos(\pi(\frac{5\cdot5}{6}))=\cos(\frac{25\pi}{6})$ (dra bort 2 hela varv) $=cos(\frac{\pi}{6})$. Detta är ett av de (få) trigonometriska värdena du förväntas kunna utantill.

EDIT ls till några borttappade högerparenteser

Smaragdalena skrev:

Konstigt att du inte har träffat på det tidigare. I Ma4 lär man sig derivera sammansatta funktionermen själva begreppet brukar införas tidigare i Ma1 eller Ma2 (så att man inte skall behöva lära sig allt krångligt samtidigt). Trigonometriska funktioner lär man sig i Ma4.

$h(5)=f(g(5))=\cos(\pi(g(5))=\cos(\pi(\frac{5\cdot5}{6})=\cos(\frac{25\pi}{6})$ (dra bort 2 hela varv) $=cos(\frac{\pi}{6})$. Detta är ett av de (få) trigonometriska värdena du förväntas kunna utantill.

 Jo, sammansatta funktioner känner jag till och även trigonometriska funktioner men jag har aldrig behövt räkna något sådant tidigare som i den här uppgiften ovan. 

Förstår tyvärr inget alls av denna formel som du skrev. 

Jag tog bara definitionen av h(x) och satte in 5 där och räknade fram att $h\left(5\right)=\cos \left(\frac{25\pi }{6}\right)$, precis som du (och Bubo) redan har gjort. Sedan tänker jag på enhetscirkeln och subtraherar $\frac{24\pi }{6}=4\pi$ d v s 2 varv, så att jag ser att vinkeln är $\frac{\pi }{6}$. Var är det du tycker att det är konstigt?

Smaragdalena skrev:

Jag tog bara definitionen av h(x) och satte in 5 där och räknade fram att $h\left(5\right)=\cos \left(\frac{25\pi }{6}\right)$, precis som du (och Bubo) redan har gjort. Sedan tänker jag på enhetscirkeln och subtraherar $\frac{24\pi }{6}=4\pi$ d v s 2 varv, så att jag ser att vinkeln är $\frac{\pi }{6}$. Var är det du tycker att det är konstigt?

 Så svaret är cos (π/6)=√3/2? Tror att jag fattade till slut. :) 

Visst. cos(pi/6) = cos(pi/6 + två varv)

Testade nu med att sätta x=4 istället. 

cos (π.20/6)= cos (8π/6+2π)  Multiplicerar jag sedan cos(π/6) med 8   Alltså 8.cos(√/6)=4√3

Vet ni också om man behöver förklara hur man räknat ut t.ex. cos(π/6), cos(π/2) osv. på ett prov eller räcker det att man kommer ihåg hur mycket det är och endast skriver svaret. 

nickifin skrev:

Testade nu med att sätta x=4 istället. 

cos (π.20/6)= cos (8π/6+2π)  Multiplicerar jag sedan cos(π/6) med 8   Alltså 8.cos(√/6)=4√3

Nä, $h(4)=\cos(\frac{20\pi}{6})=\cos(\frac{8\pi}{6}+2\pi)=\cos(\frac{4\pi}{3})=-\frac{1}{2}$

Vet ni också om man behöver förklara hur man räknat ut t.ex. cos(π/6), cos(π/2) osv. på ett prov eller räcker det att man kommer ihåg hur mycket det är och endast skriver svaret. 

Det är inget krav, men du får hemskt gärna rita upp en liten triangel och/eller en liten enhetscirkel och markera dina vinklar. Det gör det lättare att ge dig något delpoäng även vid felaktigt svar.

Hur räknade du ut att cos(4π/3) är lika med -1/2?  cos(π/3)=1/2 men vad händer med 4? 

Om du ritar upp en enhetscirkel och markerar vinkeln $\dfrac{4\pi}{3}$, dvs 240° ser det ut så här:

Redan ur bilden kan vi misstänka att x-koordinaten för skärningspunkten är ungefär -0.5, men vi kan också rita upp en extra triangel i cirkeln och se att det verkligen blir $-\frac{1}{2}$.

Jag fattar inte. Hur hittar man vinkeln 4π/3 på bilden och hur vet man var triangeln ska ritas och att sidorna ska vara 1, 2 och √3?

nickifin skrev:

Jag fattar inte. Hur hittar man vinkeln 4π/3 på bilden och hur vet man var triangeln ska ritas och att sidorna ska vara 1, 2 och √3?

Ja, det kanske kan vara lite klurigt att skala om, särskilt om man vill att enhetscirkeln ska ha radien 1, jag visar med en bild istället:

Vi vet att cosinus-värdet ska vara närliggande katet delat med hypotenusan. I enhetscirkeln är hypotenusan 1. Alltså ska $\cos(60^{\circ})=\dfrac{x}{1}$. Vi känner igen den rätvinkliga triangeln med vinklarna 30°, 60° och 90°, varför sidan $x=\dfrac{1}{2}$. Vi inser att vi är i tredje kvadranten av enhetscirkeln, alltså måste $\cos(\frac{4\pi}{3})=-\frac{1}{2}$

Guggle skrev:

nickifin skrev:

Jag fattar inte. Hur hittar man vinkeln 4π/3 på bilden och hur vet man var triangeln ska ritas och att sidorna ska vara 1, 2 och √3?

Ja, det kanske kan vara lite klurigt att skala om, särskilt om man vill att enhetscirkeln ska ha radien 1, jag visar med en bild istället:

Vi vet att cosinus-värdet ska vara närliggande katet delat med hypotenusan. I enhetscirkeln är hypotenusan 1. Alltså ska $\cos(60^{\circ})=\dfrac{x}{1}$. Vi känner igen den rätvinkliga triangeln med vinklarna 30°, 60° och 90°, varför sidan $x=\dfrac{1}{2}$. Vi inser att vi är i tredje kvadranten av enhetscirkeln, alltså måste $\cos(\frac{4\pi}{3})=-\frac{1}{2}$

 Vilken triangel har hypotenusan som är 1? Det är inte den på bilden? Förstår inte varifrån triangeln på bilden kommer heller. 

nickifin skrev:

Jag fattar inte. Hur hittar man vinkeln 4π/3 på bilden ... ?

Man räknar vinkeln från den positiva horisontella axeln. Vinkeln växer moturs.

$2\pi$ radianer är ett helt varv.

$\pi$ radianer är ett halvt varv.

$\frac{\pi}{3}$ radianer är ett tredjedels halvt varv, dvs ett sjättedels varv.

$\frac{4\pi}{3}$ radianer är fyra sjättedels varv, dvs två tredjedels varv.

Är du då med på hur man hittar vinkeln $\frac{4\pi}{3}$?

Du behöver sällan rita vinklarna exakt eftersom du ändå inte mäter i figuren.

Yngve skrev:

nickifin skrev:

Jag fattar inte. Hur hittar man vinkeln 4π/3 på bilden ... ?

Man räknar vinkeln från den positiva horisontella axeln. Vinkeln växer moturs.

$2\pi$ radianer är ett helt varv.

$\pi$ radianer är ett halvt varv.

$\frac{\pi}{3}$ radianer är ett tredjedels halvt varv, dvs ett sjättedels varv.

$\frac{4\pi}{3}$ radianer är fyra sjättedels varv, dvs två tredjedels varv.

Är du då med på hur man hittar vinkeln $\frac{4\pi}{3}$?

Du behöver sällan rita vinklarna exakt eftersom du ändå inte mäter i figuren.

Förstår bara hur man går runt 2/3 varv och att detta är 4π/3 men där tar det stopp... Kan fortfarande inte fatta hur man räknar ut cosinus. Alltså närliggande katet delat med hypotenusan men hur vet vi att närliggande katet är just hälften av 1? 

Dra en lodrät linje från den punkt där den blå linjen skär enhetscirkeln. Du vet att vinkeln mellan negativa x-axeln och den blå linjen är $\frac{\pi}{3}$ eller 60 grader, om du tycker det är enklare. Den tredje vinkeln våste alltså vara 30 grader eller $\frac{\pi}{6}$. Detta är den berömda "en halv liksidig triangel" där hypotenusan är dubbelt så lång som den kortaste kateten, och den tredje sidan kan du få fram med Pythagoras sats. Detta är den ena av de båda trianglar du bör lära dig sinus-och ocsinus värden för utantlii (den andra är "en halv kvadrat").