Funktionen f (x) = x^4 − 4x^3 − 20x^2 har en eller flera minimipunkter. Bestäm denna/dessa. (Matematik/Matte 3/Derivata)

Nu har du tre punkter som kan vara potentiella maximi- eller minimipunkter.

Nu bör du undersöka dem för att du vill veta om de är maximi- eller minimipunkter eller ingetdera.

Något som brukar vara bra att göra är en teckentabell

Skriv upp dina nollställen med lite mellanrum, sen gör du en rad under där du skriver f'(x) ungefär såhär

och så undersöker du hur derivatan ser ut före, mellan och efter nollställena. Testa ex. först f'(-3) och se om derivatan är positiv eller negativ innan punkten x=-2 , sen testar du ex f'(-1) för att se om derivatan är positiv eller negativ mellan -2 och 0 och så vidare.

Utifrån detta kan du dra slutsatser. Om ex. lutningen(derivatan) före en punkt är positiv och sen efter punkten blir negativ så borde det vara en en maximipunkt och om tvärt om gäller så minimipunkt. Har derivatan samma tecken pp båda sidor är det troligen en terasspunkt

Här är ett påhittat exempel av mig för att visa hur man drar slutsatser och kan redovisa:

Du måste själv undersöka för din funktion.

Hej och välkommen till Pluggakuten!

Jontos metod fungerar utmärkt. En alternativ metod är att studera andraderivatans tecken i extrempunkterna.

Andraderivatan $f''(x)$ får du fram genom att derivera derivatafunktionen $f'(x)$ .

Om $x_1$ är x-koordinaten för en extrempunkt så gäller följande:

Om $f''(x_1)>0$ så har funktionen en minpunkt vid $x=x_1$ .
Om $f''(x_1)<>$ så har funktionen en maxpunkt vid $x=x_1$ .

Du kan läsa mer om detta här.

Rita! Det behöver inte vara noga alls: kurvan kommer uppifrån oändligheten till vänster, visar sina minimipunkter för oss, och stiger upp igen mot oändligheten till höger. Hur kan det se ut?

Laguna skrev:
Rita! Det behöver inte vara noga alls: kurvan kommer uppifrån oändligheten till vänster, visar sina minimipunkter för oss, och stiger upp igen mot oändligheten till höger. Hur kan det se ut?

Det kan antingen vara två minimipunkter och en maximipunkt eller en minimipunkt och två terrasspunkter, så viss analys måste nog göras ändå.

Yngve skrev:
Laguna skrev:
Rita! Det behöver inte vara noga alls: kurvan kommer uppifrån oändligheten till vänster, visar sina minimipunkter för oss, och stiger upp igen mot oändligheten till höger. Hur kan det se ut?
Det kan antingen vara två minimipunkter och en maximipunkt eller en minimipunkt och två terrasspunkter, så viss analys måste nog göras ändå.

Mm, men det kan inte vara tre minimipunkter. Om man nu trodde att man var klar, men trådskaparen säger förvisso inte att den tror det.

Yngve skrev:
Laguna skrev:
Rita! Det behöver inte vara noga alls: kurvan kommer uppifrån oändligheten till vänster, visar sina minimipunkter för oss, och stiger upp igen mot oändligheten till höger. Hur kan det se ut?
Det kan antingen vara två minimipunkter och en maximipunkt eller en minimipunkt och två terrasspunkter, så viss analys måste nog göras ändå.

Kombinerat med att stora x-värden, både positiva och negativa, ger positiva y-värden finns det bara en möjlighet kvar.

Smaragdalena skrev:
Yngve skrev:
Det kan antingen vara två minimipunkter och en maximipunkt eller en minimipunkt och två terrasspunkter, så viss analys måste nog göras ändå.
Kombinerat med att stora x-värden, både positiva och negativa, ger positiva y-värden finns det bara en möjlighet kvar.

Nej varför det? Om vi endast utgår från den informationen kan vi konstatera att det finns en eller två minimipunkter.

Läste inte din kommentar ordentligt - tänkte på en maximipunkt och två minimipunkter alternativt en minimipunkt och två maximipunkter, och de båda situationerna skull man ha kunnat skilja mellan.

En fjärdegradsfunktion kan inte ha två terrasspunkter och en max/minpunkt. Det krävs en sjättegradare för så många nollställen till derivatan då en terrasspunkt är ett dubbelnollställe till derivatan.

I detta fall har vi tre extrempunkter. Det blir antingen två max och ett min eller två min och ett max. Vilket det blir ses genom tecknet på x^4 termen men att göra en analys med andraderivatan är aldrig fel.

AndersW skrev:
En fjärdegradsfunktion kan inte ha två terrasspunkter och en max/minpunkt. Det krävs en sjättegradare för så många nollställen till derivatan då en terrasspunkt är ett dubbelnollställe till derivatan.
...

Ja men den kunskapen har eleverna normalt sett inte på Matte 3-nivå, så det bör inte tas för givet att funktionen endast har en minimipunkt. Det jag försöker säga är att eleven för att lösa uppgiften på Matte 3-nivå ska använda teckentabell eller andraderivata för att hitta minimipunkterna.

Mina elever har det, men det kanske bara är jag som tar upp det. Men visst det är mycket bättre att verifiera med teckentabell eller andraderivata. Å andra sidan kräver vi ju inte ofta att eleverna skall verifiera om en andragradare har max eller min.

Yngve skrev:
Hej och välkommen till Pluggakuten!
Jontos metod fungerar utmärkt. En alternativ metod är att studera andraderivatans tecken i extrempunkterna.
Andraderivatan $f''(x)$ får du fram genom att derivera derivatafunktionen $f'(x)$ .
Om $x_1$ är x-koordinaten för en extrempunkt så gäller följande:
Om $f''(x_1)>0$ så har funktionen en minpunkt vid $x=x_1$ .
Om $f''(x_1)<>$ så har funktionen en maxpunkt vid $x=x_1$ .
Du kan läsa mer om detta här.

Tack för svaret men jag förstår ändå inte riktigt hur jag ska gå vidare, om jag andraderiverar funktionen f'(x) = 4x^3 - 12x^2 - 40x och får f''(x) = 12x^2 - 24x - 40. Mina tre x-värden är x1 = 0, x2= -2 och x3 = 5. Ska jag nu ta dem och sätta in i den andraderiverade derivatan för att se vilken av dom är minimipunkt som jag behöver. Jag gjorde det. Men jag är inte riktigt säker om det är det rätta svaret, för när jag ritar funktionen f'(x) = 4x^3 - 12x^2 - 40x eller f''(x) = 12x^2 - 24x - 40, får jag en kurva vars extrempunkter inte stämmer med mina svar. Mina svar blev f''(x1) = -40 , f''(x2) = -40 och f''(x3) = 140. Är jag helt ute och cyklar?

Pablo Sarabia skrev:

Tack för svaret men jag förstår ändå inte riktigt hur jag ska gå vidare, om jag andraderiverar funktionen f'(x) = 4x^3 - 12x^2 - 40x och får f''(x) = 12x^2 - 24x - 40. Mina tre x-värden är x1 = 0, x2= -2 och x3 = 5. Ska jag nu ta dem och sätta in i den andraderiverade derivatan för att se vilken av dom är minimipunkt som jag behöver. Jag gjorde det. Men jag är inte riktigt säker om det är det rätta svaret, för när jag ritar funktionen f'(x) = 4x^3 - 12x^2 - 40x eller f''(x) = 12x^2 - 24x - 40, får jag en kurva vars extrempunkter inte stämmer med mina svar. Mina svar blev f''(x1) = -40 , f''(x2) = -40 och f''(x3) = 140. Är jag helt ute och cyklar?

Ja du tänker rätt. Din andraderivata $f''(x)=12x^2-24x-40$ är rätt. Men du slarvade lite när du satte in x-värdet -2.

Om du sätter in x-värdena för dina extrempunkter i den får du

$f''(0)=-40$ , vilket är mindre än 0, alltså har $f(x)$ en maxpunkt då $x=0$ .
$f''(-2)=12\cdot (-2)^2-24\cdot (-2)-40=56$ , vilket är större än 0, alltså har $f(x)$ en minpunkt då $x=0$ .
$f''(5)=12\cdot 5^2-24\cdot 5-40=140$ , vilket är större än 0, alltså har $f(x)$ en minpunkt då $x=0$ .

Då har du hittat x-koordinaterna för de två minpunkterna och kan nu gå vidare och även hitta y-koordinaterna.

-------

Att rita graferna till $f'(x)$ och $f''(x)$ och fundera över grafernas utseenden och samband med grafen till $f(x)$ är en mycket bra övning men det är inte nödvändigt för att lösa denna uppgift. Det som är intressant där är förstaderivatans nollställen och andraderivatans tecken vid dessa nollställen.

Yngve skrev:
Pablo Sarabia skrev:
Tack för svaret men jag förstår ändå inte riktigt hur jag ska gå vidare, om jag andraderiverar funktionen f'(x) = 4x^3 - 12x^2 - 40x och får f''(x) = 12x^2 - 24x - 40. Mina tre x-värden är x1 = 0, x2= -2 och x3 = 5. Ska jag nu ta dem och sätta in i den andraderiverade derivatan för att se vilken av dom är minimipunkt som jag behöver. Jag gjorde det. Men jag är inte riktigt säker om det är det rätta svaret, för när jag ritar funktionen f'(x) = 4x^3 - 12x^2 - 40x eller f''(x) = 12x^2 - 24x - 40, får jag en kurva vars extrempunkter inte stämmer med mina svar. Mina svar blev f''(x1) = -40 , f''(x2) = -40 och f''(x3) = 140. Är jag helt ute och cyklar?
Ja du tänker rätt. Din andraderivata $f''(x)=12x^2-24x-40$ är rätt. Men du slarvade lite när du satte in x-värdet -2.
Om du sätter in x-värdena för dina extrempunkter i den får du
$f''(0)=-40$ , vilket är mindre än 0, alltså har $f(x)$ en maxpunkt då $x=0$ .
$f''(-2)=12\cdot (-2)^2-24\cdot (-2)-40=56$ , vilket är större än 0, alltså har $f(x)$ en minpunkt då $x=0$ .
$f''(5)=12\cdot 5^2-24\cdot 5-40=140$ , vilket är större än 0, alltså har $f(x)$ en minpunkt då $x=0$ .
Då har du hittat x-koordinaterna för de två minpunkterna och kan nu gå vidare och även hitta y-koordinaterna.
-------
Att rita graferna till $f'(x)$ och $f''(x)$ och fundera över grafernas utseenden och samband med grafen till $f(x)$ är en mycket bra övning men det är inte nödvändigt för att lösa denna uppgift. Det som är intressant där är förstaderivatans nollställen och andraderivatans tecken vid dessa nollställen.

Om jag förstår rätt, så är uppgiften löst. x-värden är de jag hittade och y-värden är -40, 56 och 140. Eller hur?

Pablo Sarabia skrev:
Om jag förstår rätt, så är uppgiften löst. x-värden är de jag hittade och y-värden är -40, 56 och 140. Eller hur?

Nej, du är inte klar än. Du har hittills bara hittat x-värdena för extrempunkterna. -40, 56 och 140 är ju andraderivatans värde vid dessa extrempunkter.

Nästa steg är att

bestämma vilka av dessa tre extrempunkter som är minpunkter. Det har jag hjälpt dig med ovan.
beräkna funktionens värde, dvs $f(x)$ i dessa minpunkter.

Yngve skrev:
Pablo Sarabia skrev:
Om jag förstår rätt, så är uppgiften löst. x-värden är de jag hittade och y-värden är -40, 56 och 140. Eller hur?
Nej, du är inte klar än. Du har hittills bara hittat x-värdena för extrempunkterna. -40, 56 och 140 är ju andraderivatans värde vid dessa extrempunkter.
Nästa steg är att
bestämma vilka av dessa tre extrempunkter som är minpunkter. Det har jag hjälpt dig med ovan.
beräkna funktionens värde, dvs $f(x)$ i dessa minpunkter.

Hur ska jag beräkna funktionens värde f(x) i minpunkterna 56 ooch 140?, förlåt att jag ställer idiotiska frågor, jag är sjuk så mitt huvud funkar inte alls.

Sätt in vart och ett av de tre x-värdena i ursprungsekvationen för att beräkna y-värdena.

Smaragdalena skrev:
Sätt in vart och ett av de tre x-värdena i ursprungsekvationen för att beräkna y-värdena.

Självklart.....

Tack så hemskt mycket för hjälpen!

Pablo Sarabia skrev:

Hur ska jag beräkna funktionens värde f(x) i minpunkterna 56 ooch 140?, förlåt att jag ställer idiotiska frågor, jag är sjuk så mitt huvud funkar inte alls.

Frågorna är inte alls idiotiska och du behöver inte alls be om ursäkt.

Funktionen vars minimimipunkter du ska bestämma är $f(x)=x^4-4x^3-20x^2$ .

Du har tagit reda på att denna funktion har minimipunkter då $x=-2$ och då $x=5$ . Nu ska du ta reda på vad funktionen $f(x)$ har för värde vid dessa x-koordinater.

Funktionens värde då $x=-2$ är $f(-2)$ , så ena minimipunkten är $(-2, f(-2))$ .

Funktionens värde då $x=5$ är $f(5)$ , så den andra minimipunkten är $(5, f(5))$ .

Du behöver alltså beräkna $f(-2)$ och $f(5)$ .