Funktionen f(x)= ln(x)

Nej, logaritmer definieras inte så. Däremot råkar funktionen ln x ha derivatan 1/x, vilket även blir intressant vid integrering. Integralen du skrivit blir ln (x/a).

Det går väl bra att definiera ln(x) enligt ovan om a = ... 

HT-Borås skrev :

Nej, logaritmer definieras inte så. Däremot råkar funktionen ln x ha derivatan 1/x, vilket även blir intressant vid integrering. Integralen du skrivit blir ln (x/a).

Jag förstår inte varför HT-Borås svarar nekande, och sedan presenterar svaret på Daja's fråga. 

Jag kanske borde ha highlightat vad texten på uppgiften var, och vad min fråga var. 

Så för att tyddliggöra:

Funktionen f(x)=ln(x), x>0, brukar definieras ${\int }_a^x\frac{1}{t}dt$, x>0

Vad ska a vara?

Min fråga: jag förstår inte vad dom menar med det helt enkelt... (och ja, jag har ritat figur... :)

Håll på att göra om massor matte uppgift idag till provet på måndag... Och fast jag har redan gjort dom en gång, det fortfarande känns inte självklart Oo!!!!!

Jag tror jag sover på det, för just nu livet känns...

OK, e-logaritmen ln kan i och för sig definieras så också, om a = 1. En rättframmare definition är $e^{\ln x}=x$.

Vänta nu, så integralen för 1/x är ln(x)?? Men varför då?

Daja skrev :

Vänta nu, så integralen för 1/x är ln(x)?? Men varför då?

Antag att ln(x) är differentierbar(jag vet att den är det därför kan jg göra så här. Annars går du använda något annat teorem) 

då är y=ln(x). Inversen är

e^y=x. Vi vet att e^x=(e^x)' och får då med implicit derivering: 

dy/dx*e^y=1. Lös ut dy/dx så får du att 

dy/dx=1/e^y. Vi vet att y=ln(x) och därför får man att 

dy/dx=1/e^(lnx)=1/x. 

Derivatan av ln(x) är alltså 1/x. 

Antiderivatan av 1/x är alltså ln(x). 

Faktum är att man brukar definiera logaritmen med just den integralen och sedan definiera exponentialfunktionen som inversen till logaritmen. Logaritmlagarna följer lätt av integraldefinitionen.

Tack alihoppa för detaljerade svar, ska kolla lite videor om detta...