Funktionen f är deriverbar

Svårt att veta exakt vad du frågar om.

Jag tänker såhär: Om en funktion är deriverbar, så är den kontinuerlig.

Däremot gäller INTE: Om en funktion är kontinuerlig, så är den deriverbar.

Jag vill förstå hur de har bevisat att den är kontinuerlig. 

Det har de inte. Kontinuiteten följer av att funktionen är deriverbar. Deriverbarhet kräver nämligen kontinuitet. För utan kontinuitet kan man inte definiera derivatan.

De har ju visat med derivatans definition? Men jag förstår inte hur de har gjort det

Du har rätt. Jag var för snabb. Återkommer

Hej!

• Funktionen $f$ är kontinuerlig i punkten $a$ om $\lim_{x\to a}|f(x)-f(a)| = 0.$
• Funktionen $f$ är deriverbar i punkten $a$ om $\lim_{x\to a}|\frac{f(x)-f(a)}{x-a} - f'(a)| = 0\ .$

Du vet att funktionen $f$ är deriverbar i punkten $a.$ Därför är det meningsfullt att skriva

    $|f(x)-f(a)| = |\frac{f(x)-f(a)}{x-a}| \cdot |x-a| = |(\frac{f(x)-f(a)}{x-a} - f'(a))+f'(a)|\cdot |x-a|\ .$

Sedan ger Triangelolikheten att

    $|(\frac{f(x)-f(a)}{x-a} - f'(a))+f'(a)| \leq |\frac{f(x)-f(a)}{x-a} - f'(a)| + |f'(a)|$

så att du kan skriva

    Error converting from LaTeX to MathML

Detta visar att $|f(x)-f(a)| \to 0$ när $x \to 0.$

Albiki

Error converting from LaTeX to MathML

Och att $\lim_{x \to a} f(x) - f(a) = 0$ är samma sak som att $\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} f(a) = f(a)$ Sista likheten är definitionen av att f(x) är kontinuerlig i $a$.

Ser knasigt ut med parenteserna i boken

Tack för att andra fyller på med visdom! Dock ska x gå mot a på sista raden i Albikis post.

Parenteserna förvirrar i boken efter raden "Detta medför att"