Funktionalanalys: Slutna operatorer

Ska jag förstå frågan som att din intuition säger dig  att alla linjära operatorer mellan Banachrum borde vara slutna och därmed att definitionen är poänglös eftersom det inte finns några icke-slutna operatorer mellan Banachrum? Eller menar du något annat?

Ja...? Men jag vet ju att det finns öppna/oslutna operatorer, jag fattar inte definitionen bara. Hur bryter man mot definitionen utan att bryta mot att X och Y är fullständiga?

Bryter man mot definitionen genom att $Ax=A\lim x_n \neq \lim (Ax_n)=y$? Hur kan det ens hända?

Jag tänker mig spontant något liknande situationen med Fourierserier där man kan ha serier som konvergerar mot funktioner i funktions-norm-mening men där de inte konvergerar i punktmening pga att någon instabilitet uppstår. Låt säga att punktvis konvergens inte sker i 0.  Om man sedan tar de linjära avbildningen D(f) = f(0) till Banachrummet av de reella talen så är säkert den korresponderande konvergensen i Y = R inte garanterad, men behöver formulera ett konkret exempel.

Jobbade aldrig så mycket med funktionalanalys så är inte bekant med definitionerna men är min intuition i alla fall.

edit: Missade att det var ett krav att Ax_n skulle konvergera per definition så då är det inte lika lätt att fula till ett motexempel.

Jag har stirrat mig blind på det här problemet nu och vet inte längre om mitt exempel fungerar men jag måste bara skriva ut det och sedan får man vakta 02:00 på natten och skrika vafalls!

Idén är att ta standardexempler på non-uniform convergence of anpassa det till den aktuella frågeställningen.

Låt oss säga att X är rummet av kontinuerliga funktioner definierade på (0,1) sådana att de har gränsvärden när man går mot 1. Låt oss säga att det har supremum normen för att göra det lätt för oss.

Exempelvis är alla funktioner på formen

$f_n(x) = x^n$

och deras supremumnorms-gränsvärde: f(x) = 0-funktionen på (0,1) ligger också i X.

Låt oss definiera att Y är rummet av alla funktioner på (0,1], även de diskontinuerliga. I det rummer ligger exempelvis

$g_n(x) = x^n$ (bara utvidgad till (0,1] )

samt även g(x) = 0-funktionen på (0,1]

Låt mig definiera avbildningen

som utvidgar funktioner på (0,1) till (0,1] genom att komplettera dem med deras gränsvärden. Visst är denna linjär?

Låt oss nu undersöka 

$f_n \to f = 0$ i X. Inga konstigheter.

$Af = g$ dvs funktionen som alltid är 0 mappas till funktioen som alltid är 0.

Men tar vi $A f_n$ så upptäcker vi att detta är en funktion vars värde vid 1 är 1!

$A f_n(1) = 1$

Tar vi gränsvärdet av denna sekvens $A f_n$ så får vi en diskontinuerlig funktion som är 0 på (0,1) men som är 1 för x = 1. Så $A f_n$ konvergerar inte mot $A f$ eftersom de skiljer sig när x = 1.

Proof?

Misstänker att min slarviga definition av Y lämnat något hål eller att rummen kanske inte är Banach men jag orkar inte kolla. Är i alla fall en avbildning där man får olika saker om man byter plats på gränsvärde och funktion.