Funktionalanalys - Banachrum och begränsade följder

Hej!

Sitter fast på följande uppgift:

Jag får inte till det. Eftersom $\left(f\left(x_{n}\right)\right)$ är begränsad finns det ett reellt tal $C$ sådant att $\vert f\left(x_{n}\right) \vert \leq C \cdot \Vert x_{n} \Vert$ . Sen vet vi också att $f \in X'$ så $f$ är också begränsad.

Använder olikheten (som jag märker inte leder någonstans tror jag?) $\vert f\left(x_{n}\right) \vert \leq \Vert f \Vert \cdot \Vert x_{n} \Vert$ , (vi kan ju bara begränsa $\Vert f \Vert$ här?).

Tacksam för all hjälp.

EDIT:

Kan man annars visa det här med hjälp av svag konvergens på något sätt?

Hmm. Verkar vara nånting med Hahn-Banach. Jag funderar vidare.

Jag såg den här titeln och min tumme färdades till mobilskärmen för att trycka snabbare än ljusets hastighet. Nästan så snabbt att skärmen spack. Varför finns det inte mer högre matte här på pluggakuten?

Hmm den här frågan verkar förvånansvärt inte svårt?

Väntar ivrigt på svar...

blobbi

någon som har svar?

Din fundering om svag konvergens ska vi nog bygga vidare på.Kanske följande lemma kan vara något att fundera över:

Lemma (svag konvergens), se Kreyzig: Introd. Funct. Analysis with Appl, kap. 4.8

Låt $(x_n)$ vara en svagt konvergent följd i ett normerat rum X: $\forall f\in X', \lim_{n\to\infty}f(x_n)=f(x)$ .

Då gäller att följden $(||x_n||)$ är begränsad.

Vet inte om jag kan vara till så mycket hjälp men jag ögnade igenom min lärobok i avancerad reell analys och där finns bl.a. följande sats (som är en slags konsekvens av Hahn-Banachs sats):

För varje $x$ i ett linjärt normerat rum $X$ så har vi $||x|| = \sup\limits_{||x'|| = 1} |x'(x)|$ , och notationen betyder att sup tas över alla funktionaler $x' \in X'$ sådana att $||x'|| = 1$ .

Satsen härleds i kapitel 4.8 i "Foundations of Modern Analysis" av Avner Friedman och är en slags konsekvens av Hahn-Banachs sats.

Svara

Visa senaste svar