Funktionalanalys

Dina \abs syns!

Du ska kunna skriva \Vert A \Vert

$\Vert A \Vert$

PA konfunderar Ibland :O

Komponent 1 av matrismultiplikationen A$\overrightarrow{x}$ ges av

$\sum _k$A_1kx_k.

Hur stort kan man få absolutbeloppet av detta att bli om man samtidigt har villkoret att

${||\overrightarrow{x}||}_{\infty }= 1$?

PATENTERAMERA skrev:

Komponent 1 av matrismultiplikationen A$\overrightarrow{x}$ ges av

$\sum _k$A_1kx_k.

Hur stort kan man få absolutbeloppet av detta att bli om man samtidigt har villkoret att

${||\overrightarrow{x}||}_{\infty }= 1$?

Jag tänkte mig att man får ut första kolonnen, eftersom vi väljer $x = \left(1,0,0,0,...0\right)$ och då återstår att bestämma normen av vektorn $Ax = \left(a_{1,1}, a_{2,1}, . . . , a_{n,1}\right) = max(a_{i,1})$. Men vi kan ju välja alla $a_{i,1}$ hur stora vi vill?

Nu svarade jag inte riktigt på din fråga, men triangelolikheten kanske kan göra nåt? Jag ser inte riktigt vart det ska leda.

Nja, matrisen skall du nog se som given. Dvs a_ij är givna konstanter. Det är $\overrightarrow{x}$ som vi kan variera.

Ett litet tips.

Vi har ju triangelolikheten

$\left|z_1+z_2\right|$ $\le$ $\left|z_1\right|$ + $\left|z_2\right|$.

 När får vi likhet?

PATENTERAMERA skrev:

Ett litet tips.

Vi har ju triangelolikheten

$\left|z_1+z_2\right|$ $\le$ $\left|z_1\right|$ + $\left|z_2\right|$.

 När får vi likhet?

Om $z_{2} = c \cdot z_{1}$ för något $c \in \mathbb{R}$?

Eller kan man inte helt enkelt bara resonera som följande:

Vi kan ta $x_{i} = \left(0,...,0,1,0,...,0\right)$ där vi har 1 på i:te komponenten. Eftersom $\Vert x_{i} \Vert = 1$ så jämför vi alla $Ax_{i}$ och får du ut alla kolonnerna (en för varje $x_{i}$) i matrisen $A$. Sen vill vi då veta normen av kolonnerna, vilket är elementet med störst belopp i kolonnen. Jämför vi alla dessa borde i väl få att $\Vert A \Vert = max(a_{i,j})$ ? Alltså är normen av operatorn det största elementet i matrisen sett till dess norm? Och matrisen/operatorns norm beror då på dess element?

EDIT: Hmm, nej det fungerar inte och det inser jag själv, glöm inlägget.

Nästan rätt. c får dock inte vara negativt. Dvs om vi ser z₁ och z₂ som två pilar så skall de vara riktade åt samma håll, eller om man så vill Arg(z₁) = Arg(z₂). Detta kan generaliseras till en summa av flera komplexa tal.

Om vi sätter x_k = exp(-iArg(a_1k)), så uppfyller vi ${||\overrightarrow{x}||}_{\infty }$ = 1. Vidare har vi då att

$\sum _k$a_1kexp(-iArg(a_1k)) = $\sum _k$|a_1k|exp(iArg(a_1k))exp(-iArg(a_1k)) = $\sum _k$|a_1k|. 

Dvs vi väljer värdena x_k på sådant sätt att alla termerna får samma riktning. Vi noterar att detta är det största värde vi kan få då normvillkoret är uppfyllt, eftersom

|$\sum _k$a_1kx_k| $\le$ $\sum _k$|a_1k||x_k| $\le$ $\sum _k$|a_1k|, då ${||\overrightarrow{x}||}_{\infty }$ = 1.

Vi kan upprepa detta argument för de övriga komponenterna i A$\overrightarrow{x}$och kommer fram till att 

${||A||}_{\infty }$ = $\underset{i}{max}$$\sum _k$|a_ik|.

Tack!

Men en fråga, vad är poängen med att definiera $x_{k}$? Räcker det inte med att låta $\Vert x_{k} \Vert = 1$ och sen använda din rad av olikheter där vi använder triangelolikheten och att $\Vert x_{k} \Vert = 1$?

Vilken exotisk norm...

Nja, det visar ju bara att $\sum _k$|a_1k| är en övre begränsning till absolutbeloppet av den första komponenten av A$\overrightarrow{x}$. Vi visar sedan att vi kan välja x_k så att absolutbeloppet av första komponenten av faktiskt blir $\sum _k$|a_1k|. Därför vet vi med säkerhet att detta är det största möjliga värdet på absolutbeloppet av den första komponenten.

Just det, det räcker inte med en övre begränsning bara, vi vill ju hitta den minsta övre begränsningen. Men hur/varför gäller den här likheten?

 Varje komplext tal z kan skrivas på polär form, dvs

z = |z|e^iArg(z).

Så a_1k = |a_1k|exp(iArg(a_1k)).

PATENTERAMERA skrev:

 Varje komplext tal z kan skrivas på polär form, dvs

z = |z|e^iArg(z).

Så a_1k = |a_1k|exp(iArg(a_1k)).

Såklart, det är så enkelt att jag gjorde det svårare än vad det var. Tack.