Funktion vars värdemängd inte existerar i målmängden (?)
Jag har väl inte tänkt jättelänge på detta så är mottaglig för att det är en självklarhet.
Hur betraktas en funktion som gör om reella tal till komplexa tal och går ℝ→ℝ? Är dess värdemängd helt enkelt bara tom eftersom avbildningarna inte har någonstans att hamna eller säger man att den inte är definierad, eller båda? Eller är det omöjligt? Eller är det bara väldigt onödigt?
Då är väl dess definitionsmängd tom också?
Så definitionsmängden beror på vad som kommer ut också?
Varför skulle mängderna vara tomma? Alla reella tal är ju komplexa tal också, eller begränsar vi oss till komplexa tal med en nollskild imaginärdel?
Så mitt exempel skulle bli att funktionen bara gjorde om reella tal till samma reella tal? Gött. Men om vi säger att funktionen omvandlar reella tal till komplexa tal som inte är reella?
Så mitt exempel skulle bli att funktionen bara gjorde om reella tal till samma reella tal?
Inte nödvändigtvis till samma. Den kan mappa elementen i definitionsmängden till vilka reella tal som helst, och det är ändå komplexa tal. Men om en funktion mappar reella tal till komplexa tal med nollskild imaginärdel så mejkar nedanstående notation ingen sense:
f:ℝ→ℝ
Då mappar den ju inte reella tal till komplexa tal med nollskild imaginärdel. Med ℝ:et till höger om pilen avser man en mängd som innehåller funktionens målmängd, och det stämmer ju inte i det här fallet. Om vi betecknar mängden av alla komplexa tal med nollskild imaginärdel med ℂ* så har vi att ℝ∩ℂ*=∅.
Ungefär så jag resonerar då.
Det jag undrar är hur detta betraktas? Säger man att notationen bara är konstig, odefinierad eller inget speciellt?
Jag skulle säga att notationen bara är fel i sammanhanget.
I mängdlära definieras en funktion som en typ av delmängd f ⊂ A x B ur en kartesisk produkt. Detta skrivs ofta f : A --> B.
Formellt är mängden R av reella tal inte en delmängd av de komplexa talen C, utan C består av tupler av reella tal. Som mängder är alltså C = R x R, och vi tänker på paret (a, b) som a + bi. Anledningen varför man brukar säga att R ⊂ C är för att det finns en "canonical embedding", alltså en funktion f : R --> C given av r --> (r, 0) som identifierar R med en delmängd av C. Denna delmängd av C brukar man identifiera med R, och annat än i mängdlära kan man betrakta dessa som samma utan att det ställer till problem. Det innebär dock att en funktion f : R --> R omöjligen kan skicka reella tal till komplexa tal.
Samma sak gäller för övrigt för de naturliga talen och heltalen. Formellt sett är N inte en delmängd till Z, men det är väldigt användbart att tänka att de är det, eftersom de naturliga talen ”finns” bland heltalen, men ”under ett annat namn”.
För att slippa frågor om konstruerade mängder kan man kanske göra ett exempel med enbart heltal. Låt J vara mängden av jämna heltal. Nu har vi funktionen f(x) = x+1, från J till J.
Slutsatsen är väl då tydligen att man har skrivit fel, J är inte definitionsmängden. Tomma mängden är definitionsmängden, och värdemängden ocksä.
Laguna skrev:För att slippa frågor om konstruerade mängder kan man kanske göra ett exempel med enbart heltal. Låt J vara mängden av jämna heltal. Nu har vi funktionen f(x) = x+1, från J till J.
Slutsatsen är väl då tydligen att man har skrivit fel, J är inte definitionsmängden. Tomma mängden är definitionsmängden, och värdemängden ocksä.
Jag skulle snarare säga att det inte finns någon definitions- eller värdemängd då man inte angett en giltig funktionsdefinition.
{} -> {} kan man väl skriva?
Ja, det skulle jag tolka som den tomma funktionen. Jag menar bara att det inte är någon funktion alls man definierar när man säger f(x) = x + 1 från J till J.
Laguna skrev:{} -> {} kan man väl skriva?
Grattis till 30k inlägg!
————
När bestämmer man Df och målmängd, är det innan eller efter man bestämt själva avbildningen eller sker allt i ett steg?
Tillägg: 18 okt 2024 19:07
Jag förstår att en funktion inte är en funktion innan man specificerat D och målmängd.
Tillägg: 18 okt 2024 19:08
Eller innan det existerar iaf.
