Funktion vars värdemängd inte existerar i målmängden (?)

Då är väl dess definitionsmängd tom också?

Så definitionsmängden beror på vad som kommer ut också?

Varför skulle mängderna vara tomma? Alla reella tal är ju komplexa tal också, eller begränsar vi oss till komplexa tal med en nollskild imaginärdel?

Så mitt exempel skulle bli att funktionen bara gjorde om reella tal till samma reella tal? Gött. Men om vi säger att funktionen omvandlar reella tal till komplexa tal som inte är reella?

Så mitt exempel skulle bli att funktionen bara gjorde om reella tal till samma reella tal?

Inte nödvändigtvis till samma. Den kan mappa elementen i definitionsmängden till vilka reella tal som helst, och det är ändå komplexa tal. Men om en funktion mappar reella tal till komplexa tal med nollskild imaginärdel så mejkar nedanstående notation ingen sense:

$f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$

Då mappar den ju inte reella tal till imaginära tal med nollskild imaginärdel. Med $\mathbb{R}$:et till höger om pilen avser man en mängd som innehåller funktionens målmängd, och det stämmer ju inte i det här fallet. Om vi betecknar mängden av alla komplexa tal med nollskild imaginärdel med $\mathbb{C}*$ så har vi att $\mathbb{R} \cap \mathbb{C}* = \emptyset$.

Ungefär så jag resonerar då. 

Det jag undrar är hur detta betraktas? Säger man att notationen bara är konstig, odefinierad eller inget speciellt?

Jag skulle säga att notationen bara är fel i sammanhanget.