Funktion med två extrempunkter

Du har gjort rätt hela vägen.

Eftersom $f(x)=ax^3+bx^2=x^2(ax+b)$ så gäller att

$f(\frac{-2b}{3a})=(\frac{-2b}{3a})^2(a\frac{-2b}{3a}+b)=\frac{4b^2}{9a^2}(\frac{-2b}{3}+b)$

Kan du fortsätta därifrån?

$$\begin{gathered} f\left(\frac{-2b}{3a}\right) = {\left(\frac{-2b}{3a}\right)}^2 \left(a \frac{-2b}{3a} + b\right)= \\ f\left(\frac{-2b}{3a}\right) = \frac{4b^2}{9a^2} \left(\frac{-2b}{3a} + b\right) = \frac{4a^2}{9a^2} - \frac{b}{3a} \\ Ska jag multiplicera detta korsvis sedan då, om jag nu gjort rätt? \end{gathered}$$

MonaV skrev:

$$\begin{gathered} f\left(\frac{-2b}{3a}\right) = {\left(\frac{-2b}{3a}\right)}^2 \left(a \frac{-2b}{3a} + b\right)= \\ f\left(\frac{-2b}{3a}\right) = \frac{4b^2}{9a^2} \left(\frac{-2b}{3a} + b\right) = \frac{4a^2}{9a^2} - \frac{b}{3a} \\ Ska jag multiplicera detta korsvis sedan då, om jag nu gjort rätt? \end{gathered}$$

Det här sista steget stämmer inte.

Om du väljer att multiplicera in faktorn i parentesen så får du \frac{4b^3}{9a^2}-\frac{8b^3}{27a^3}.

EDIT - det ska vara $\frac{4b^3}{9a^2}-\frac{8b^3}{27a^2}$.

Sedan kan du förenkla med hjälp av gemensam nämnare o.s.v.

Alternativt förenklar du parentesen först innan multiplikation, också det med hjälp av gemensam nämnare.

De hängde jag med på men vart försvann a och b?

MonaV skrev:

De hängde jag med på men vart försvann a och b?

\frac{4b^2}{9a^2}(\frac{-2b}{3a}+b)=

=\frac{4b^2}{9a^2}\cdot \frac{-2b}{3a}+\frac{4b^2}{9a^2}\cdot b=

=\frac{4b^2\cdot (-2b)}{9a^2\cdot 3a}+\frac{4b^2\cdot b}{9a^2}=

=\frac{-8b^3}{27a^3}+\frac{4b^3}{9a^2}

EDIT - det ska vara 

$\frac{4b^2}{9a^2}(\frac{-2b}{3}+b)=$

$=\frac{4b^2}{9a^2}\cdot \frac{-2b}{3}+\frac{4b^2}{9a^2}\cdot b=$

$=\frac{4b^2\cdot (-2b)}{9a^2\cdot 3}+\frac{4b^2\cdot b}{9a^2}=$

$=\frac{-8b^3}{27a^2}+\frac{4b^3}{9a^2}$

Är du med då?

På första raden i nämnaren : ska det bara stå 3 där ? Borde det inte stå 3a. Från allra första början står det:

$f\left(\frac{-2b}{3a}\right) = {\left(\frac{-2b}{3a}\right)}^2 \left(a\frac{-2b}{3a} + b\right)$

Men i nästa steg där så är a borta i parantesen men det har inte multiplicerats in ett? Eller missar jag det helt?

Oj vad rörigt det blev. Jag ber om ursäkt för det.

Första termen i parentesen är ju $ax$ och med $x=\frac{-2b}{3a}$ så blir den termen $a\cdot \frac{-2b}{3a}=\frac{a\cdot (-2b)}{3a}=\frac{-2b}{3}$ eftersom man kan förkorta bort a i täljare och nämnare.

Jag har korrigerat mina tidigare felskrivningar ovan.

Jaha, ja då förstår jag vart den tog vägen:) Men b står ju som addition och inte multiplikation. Hur blir det?

$$\begin{gathered} f\left(x\right) = a{x}^3+b{x}^2 = x^2 (ax+b) \\ f\left(\frac{-2b}{3a}\right) = {\left(\frac{-2b}{3a}\right)}^2 \left(a\frac{-2b}{3a}+ b\right) \\ f\left(\frac{-2b}{3a}\right) = \frac{4b^2}{9a^2} \left(\frac{a*(-2b)}{3a}+b\right) \\ f\left(\frac{-2b}{3a}\right) = \frac{4b^2}{9a^2} \left(\frac{-2b}{3}+ b\right) \\ f\left(\frac{-2b}{3a}\right) = \frac{4b^2}{9a^2}- \frac{8b^3}{27a^2} + b \\ f\left(\frac{-2b}{3a}\right) = \end{gathered}$$

sedan kan jag förlänga med 3 i första bråket så jag får gemensam nämnare = $27a^2$? 

Inte greppat vart jag ska göra av mitt b dock.

$\frac{4b^2}{9a^2}(\frac{-2b}{3}+b)=\frac{4b^3}{9a^2}-\frac{8b^3}{27a^2}$  

inget annat

MonaV skrev:

$$\begin{gathered} f\left(x\right) = a{x}^3+b{x}^2 = x^2 (ax+b) \\ f\left(\frac{-2b}{3a}\right) = {\left(\frac{-2b}{3a}\right)}^2 \left(a\frac{-2b}{3a}+ b\right) \\ f\left(\frac{-2b}{3a}\right) = \frac{4b^2}{9a^2} \left(\frac{a*(-2b)}{3a}+b\right) \\ f\left(\frac{-2b}{3a}\right) = \frac{4b^2}{9a^2} \left(\frac{-2b}{3}+ b\right) \\ f\left(\frac{-2b}{3a}\right) = \frac{4b^2}{9a^2}- \frac{8b^3}{27a^2} + b \\ f\left(\frac{-2b}{3a}\right) = \end{gathered}$$

sedan kan jag förlänga med 3 i första bråket så jag får gemensam nämnare = $27a^2$? 

Inte greppat vart jag ska göra av mitt b dock.

Det ska inte vara något ensamt b.

Det ska bara bli två termer när du multiplicerar in faktorn i parentesen.

Jämför $x(y-z)=xy-xz$. Två termer.

----------

Men jag tror att det är enklare om du förenklar parentesen först istället. Gemensam nämnare genom att förlänga sista termen i parentesen med 3.

Okej, tänkte du att jag ska multiplicera $\left(\frac{-2b}{3a} + b\right)$ med 3?

Du gör nånting jättekonstigt när du försöker ta bort parentesen. Du har fått hjälp av joculator hur det skall se ut egentligen.

Jag kommer inge längre än till detta: 

$$\begin{gathered} f\left(x\right) = a{x}^3 +b{x}^2 = x^2 (ax+b) \\ f\left(\frac{-2b}{3a}\right)= {\left(\frac{-2b}{3a}\right)}^2 \left(a\frac{-2b}{3a}+b\right) \\ f\left(\frac{-2b}{3a}\right) = \frac{4b^2}{9a^2} \left(\frac{a(-2b)}{3a} + b\right) \\ f\left(\frac{-2b}{3a}\right) = \frac{4b^2}{9a^2} \left(\frac{-2b}{3} + b\right) \\ f\left(\frac{-2b}{3a}\right) = \frac{4b^3}{9a^2} - \frac{8b^3}{27a^2} \\ f\left(\frac{-2b}{3a}\right) = 3* \left(\frac{4b^2}{9a^2}\right) - \frac{8b^3}{27a^2} \\ f\left(\frac{-2b}{3a}\right) = \frac{12b^3}{27a^2} - \frac{8b^3}{27a^2} \\ f\left(\frac{-2b}{3a}\right) = \frac{12b^3-8b3}{27a^2} \\ f\left(\frac{-2b}{3a}\right) = \frac{4b^3}{27a^2} \end{gathered}$$

Nej, du ska multiplicera något som ser ut i princip så här:

t * (u+v)

där t är ett ganska krångligt bråk, u är ett annat bråk och v är b. Ser du att det är en sådan multiplikation du ska göra?

Det blir t*u + t*v. Känns det självklart när du ser principen skriven så här med lite enklare variabler?

MonaVs senaste uträkning stämmer väl? Så då har vi de två punkterna (0, 0) och så den vi fick fram. Hur ser ekvationen ut för en linje genom dessa punkter?

MonaV skrev:

Jag kommer inge längre än till detta: 

$$\begin{gathered} f\left(x\right) = a{x}^3 +b{x}^2 = x^2 (ax+b) \\ f\left(\frac{-2b}{3a}\right)= {\left(\frac{-2b}{3a}\right)}^2 \left(a\frac{-2b}{3a}+b\right) \\ f\left(\frac{-2b}{3a}\right) = \frac{4b^2}{9a^2} \left(\frac{a(-2b)}{3a} + b\right) \\ f\left(\frac{-2b}{3a}\right) = \frac{4b^2}{9a^2} \left(\frac{-2b}{3} + b\right) \\ f\left(\frac{-2b}{3a}\right) = \frac{4b^3}{9a^2} - \frac{8b^3}{27a^2} \\ f\left(\frac{-2b}{3a}\right) = 3* \left(\frac{4b^2}{9a^2}\right) - \frac{8b^3}{27a^2} \\ f\left(\frac{-2b}{3a}\right) = \frac{12b^3}{27a^2} - \frac{8b^3}{27a^2} \\ f\left(\frac{-2b}{3a}\right) = \frac{12b^3-8b3}{27a^2} \\ f\left(\frac{-2b}{3a}\right) = \frac{4b^3}{27a^2} \end{gathered}$$

Du skrev lite konstigt när du förlängde första termen med 3 för att få det liknämnigt, men slutresultatet är rätt!

Nu har du koordinaterna för de två punkterna på linjen och kan då gå vidare med att bestämma k och m för att få fram linjens ekvation, på samma sätt som du gjort tidigare.

(Men eftersom även denna linje går genom origo så vet du på en gång att m = 0 även i detta fallet.)

Okej, hur ska jag skriva ut min förlängning? :)

En fundering jag ko på nu när jag ska räkna ut K, jag har väl inte fått fram allt jag behöver för att räkna ut K? Jag har egentligen bara $y= \frac{4b^3}{27a^2} och x= \frac{-2b}{3a}$

Yngve skrev:

Du skrev lite konstigt när du förlängde första termen med 3 för att få det liknämnigt, men slutresultatet är rätt!

 Yngve har rätt. Bortse från min kommentar.

 Du vet att linjen går genom punkten (0,0) och punkten (x,y) (och de krångliga uttrycken för x och y). Hur gör du för att skriva en rät linje som går genom dessa båda punkter? Vad blir k? Vad blir m?

$$\begin{gathered} K= \frac{y_2- y_1}{x_2 -x_1} = \frac{{\displaystyle \frac{4b^3}{27a^2}}-0}{{\displaystyle \frac{-2b}{3a}}-0} \\ K = \frac{4b^3}{{\displaystyle \frac{27a^2}{{\displaystyle \frac{-2b}{3a}}}}} \end{gathered}$$

Såhär? Känns som jag gjort fel. detta blev ju jätte krångligt.

Det är en bra början men går att förenkla mycket.

Att dela med x/y är samma sak som att multiplicera med y/x.

Har svårt att förstå hur jag ska förenkla tyvärr.

MonaV skrev:

Har svårt att förstå hur jag ska förenkla tyvärr.

 Det gäller att $\frac{c/d}{e/f}=\frac{c}{d}\cdot \frac{f}{e}$

Detta samband är beskrivet här och är viktigt att kunna.

I ditt fall är $c=4b^3$, $d=27a^2$, $e=-2b$ och $f=3a$.

Ställ nu upp uttrycket $\frac{c}{d}\cdot \frac{f}{e}$ och förenkla.

$\frac{4b^3}{27a^2} * \frac{3a}{-2b} = \frac{-8b^4}{81a^3}$

 Nej, när du delar b^3 med b blir det inte b^4.

Ja precis man ska tänka så, blir det : $2b^2$ ?

$-2b^2$ lär de ju ska va om man nu delar dessa med varandra

Just det, och hur blir hela uttrycket? (Ta hand om a på rätt sätt också.)

$\frac{-2b^2}{9a}$

Om detta nu är rätt får jag, $y= \frac{-2b^2}{9a}x$

Sedan ska jag jämföra mitt svar med svaret i b, ska jag då sätta in a= 4 och b= 3?

Japp. Och det x som du hittade i början.

Ja, jag har fått det till:

 $$\begin{gathered} y = \frac{-2b^2}{9a}x \\ (a=4, b=3) \\ y = \frac{-2(3{)}^2}{9*4} \\ y= \frac{-2 * 9}{36} \\ y= \frac{-18}{36} = -0.5 \\ Alltså y= -0.5x, dvs samma svar som i uppgift b \end{gathered}$$

räcker det att svara:

 $$\begin{gathered} y= \frac{-2b^2}{9a} x. När jag sätter in mina värden för a och b \\ får jag samma ekvation för den räta linjen som i uppgift b ovan, \\ dvs y =-0.5x. \end{gathered}$$

Eller hur ska man utveckla svaret?

MonaV skrev:

räcker det att svara:

 $$\begin{gathered} y= \frac{-2b^2}{9a} x. När jag sätter in mina värden för a och b \\ får jag samma ekvation för den räta linjen som i uppgift b ovan, \\ dvs y =-0.5x. \end{gathered}$$

Eller hur ska man utveckla svaret?

Jag tycker att det räcker, om du dessutom visar din uträkning att $\frac{-2b^2}{9a}$ blir -0,5 då a = 4 och b = 3 

Okej :) Tack för all hjälp :)