Funktion - max och mini

Hur har du tänkt? Hur brukar man göra när man tar fram extrempunkter?

AlvinB skrev :

Hur har du tänkt? Hur brukar man göra när man tar fram extrempunkter?

För att ta fram maxpunkt så ska jag sätta in 3 istället för x i funktionen och räkna på det?

AlvinB skrev :

Hur har du tänkt? Hur brukar man göra när man tar fram extrempunkter?

Jag trodde man skulle göra på annat sätt för att få fram lokala extrempunkter men det är samma sak som?

Jag ska alltså först derivera funktionen.

$f\left(x\right)=2x^4-27x^2+54x \Rightarrow f\text{'}\left(x\right) = 8x^3-54x+54$

Och i derivatan så sätter jag in -3 för att få fram eventuell lokal maximipunkt?

Så det finns alltså ingen lokal maximipunkt?

f'(x)=0 när jag stoppar in -3.

Har ekvationen f'(x) = 0 någon mer lösning än x = -3?

Smaragdalena skrev :

Har ekvationen f'(x) = 0 någon mer lösning än x = -3?

Jag skrivit in den i en graf men jag får då $-\frac{3}{2} och \frac{3}{2}$.

Och funktionen skär bara grafen i -3 och på y-axeln.

Här är en graf av funktionen. 

Vad menar du med att du har "skrivit in den (derivatan) i en graf" och fått de två lösningarna? En av nollpunkterna till derivatan är x = -3, den andra är en av dina båda punkter (den andra är fel).

Vad menar du med att "funktionen skär grafen"? Grafen avbildar funktionen.

Smaragdalena skrev :

Här är en graf av funktionen. 

Vad menar du med att du har "skrivit in den (derivatan) i en graf" och fått de två lösningarna? En av nollpunkterna till derivatan är x = -3, den andra är en av dina båda punkter (den andra är fel).

Vad menar du med att "funktionen skär grafen"? Grafen avbildar funktionen.

Jag deriverade den och skrev in den på grafen.

För att få fram andra punkter måste jag ju derivera?

Jag förstår fortfarande inte vad du menar när du skriver att du "skrev in den på grafen".

Ekvationen $8x^3-54x+54=0$ kan skrivas som $2(x+3)(3-2x)^2=0$. Den ena lösningen är x = -3. Vilken är den andra lösningen?

Smaragdalena skrev :

Jag förstår fortfarande inte vad du menar när du skriver att du "skrev in den på grafen".

Ekvationen $8x^3-54x+54=0$ kan skrivas som $2(x+3)(3-2x)^2=0$. Den ena lösningen är x = -3. Vilken är den andra lösningen?

Jag formulerade mig fel.

Men då är den andra $\frac{3}{2}$?

Ja, x = 1,5 är det intressanta värdet. Jag skulle göra ett teckenstudium för att se om det är en maximipunkt eller inte.

Smaragdalena skrev :

Ja, x = 1,5 är det intressanta värdet. Jag skulle göra ett teckenstudium för att se om det är en maximipunkt eller inte.

Men jag kan också bara rita grafen istället?

Det skulle du kunna, men ger det svar på frågan? Teckenstudium är ett effektivare sätt.

Smaragdalena skrev :

Det skulle du kunna, men ger det svar på frågan? Teckenstudium är ett effektivare sätt.

Ja att jag deriverar den och ritar upp den. Man utgår ju från grafen när man använder sig av teckenstudium väl?

Det är derivatan du skall göra ett teckenstudium av. Om x= 1,5 är derivatan 0. Välj ett värde påx som är lite mindre än 1,5 och som är lätt att räkna med,( t ex x = 1 eller x = 0) och beräkna derivatans värde. Positivt eller negativt? Gör likadant för t ex x = 2. Om det är så att derivatan är positiv till vänster om nollstället och negativ till vänster om nollstället är det ett maximum, om det är tvärtom är det en minimipunkt. Det kan också vara så att derivatan är t ex positiv - noll - positiv, och i så fall är det en terrasspunkt. Du vet att derivatan inte har fler nollställen än de båda vi har hittat, så det kan inte finnas fler maximipunkter.

Hej

Nej inte riktigt, det du gör är att kolla lutningen lite innan och efter din extrempunkt t.ex. $f\text{'}(-3.1)$ och $f\text{'}(-2,9)$ vad kan vi då säga om vår punkt är det en minimipunkt, maximipunkt eller terasspunkt? därefter gör du det samma för den andra extrempunkten.

T.ex. Om vi har funktionen $f\left(x\right)=x^2\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=2x$, $f\text{'}\left(x\right)=0\iff 2x=0\iff x=0$ nu vill jag ta reda på vilken typ av extrempunkt det är!

$$\begin{gathered} f\text{'}(-1)=-1·2=-2 \\ f\text{'}\left(1\right)=1·2=2 \end{gathered}$$

Där vi ser att $f\text{'}\left(1\right)>0 \mathrm{och} \mathrm{f}\text{'}(-1)<0$ vilket måste betyda att $f\text{'}\left(0\right)$ är en minimipunkt.

Ett alternativt sätt är att använda andraderivatan om vi har extrempunkterna $x=a , x=b$ om då $f\text{'}\text{'}\left(a\right)>0$ är det en minimipunkt och $f\text{'}\text{'}\left(b\right)<0$ maximipunkt.

Kommer du vidare?

jonis10 skrev :

Hej

Nej inte riktigt, det du gör är att kolla lutningen lite innan och efter din extrempunkt t.ex. $f\text{'}(-3.1)$ och $f\text{'}(-2,9)$ vad kan vi då säga om vår punkt är det en minimipunkt, maximipunkt eller terasspunkt? därefter gör du det samma för den andra extrempunkten.

T.ex. Om vi har funktionen $f\left(x\right)=x^2\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=2x$, $f\text{'}\left(x\right)=0\iff 2x=0\iff x=0$ nu vill jag ta reda på vilken typ av extrempunkt det är!

$$\begin{gathered} f\text{'}(-1)=-1·2=-2 \\ f\text{'}\left(1\right)=1·2=2 \end{gathered}$$

Där vi ser att $f\text{'}\left(1\right)>0 \mathrm{och} \mathrm{f}\text{'}(-1)<0$ vilket måste betyda att $f\text{'}\left(0\right)$ är en minimipunkt.

Ett alternativt sätt är att använda andraderivatan om vi har extrempunkterna $x=a , x=b$ om då $f\text{'}\text{'}\left(a\right)>0$ är det en minimipunkt och $f\text{'}\text{'}\left(b\right)<0$ maximipunkt.

Kommer du vidare?

Ok, så i och med att jag har nollstället 1.5 så sätter jag in t.ex. f'(x)=1.4 och f'(x)=1.6 och får då reda på om 1.5 är en max, mini eller terrasspunkt?

Om du sätter in x = 1 respektive x = 2 behöver du ingen räknare. Sätt in de båda värdena i derivatan $f'(x) = 8x^3-54x+54$ och beräkna.

Smaragdalena skrev :

Om du sätter in x = 1 respektive x = 2 behöver du ingen räknare. Sätt in de båda värdena i derivatan $f'(x) = 8x^3-54x+54$ och beräkna.

Okej, jag fick positiva tal på båda sidorna. Vilket betyder?

Det har jag skrivit tidigare:

Det kan också vara så att derivatan är t ex positiv - noll - positiv, och i så fall är det en terrasspunkt.

Det är alltså inte en maximi- (eller minimi-)punkt.