Funktion?

Funktionen är i princip "Ett litet steg i x, ger ett lika stort steg i y". Om vi sätter in detta i derivatans definition får vi: 

$$\begin{gathered} S\text{'}\left(x\right)=\frac{S(x+h)-S\left(x\right)}{h} \\ S\text{'}\left(x\right)=\frac{\left(S\left(x\right)+h\right)-S\left(x\right)}{h} \end{gathered}$$

Kommer du vidare? :)

Du får inte veta vad funktionen är explicit i detta problem; det enda du får veta är att den uppfyller sambandet S(x+h) = S(x) + h. Det är tänkt att du skall utnyttja den informationen tillsammans med derivatans definition för att lösa uppgiften.

Hur vet man vad funktionen är så man vet vad man ska ersätta x med i definitionen för jag för fel. Det går inte ihop för mig. Hur vet man vad som ska stoppas in?

Börja med att sätta upp definitionen av S’(3).

S’(3) = $\underset{h\to 0}{\lim }\frac{S\left(3+h\right)-S\left(3\right)}{h}$    (1).

Sedan vet vi att funktionen S uppfyller sambandet S(x+h) = S(x) + h. Sätt x = 3 och vi får

S(3+h) = S(3) + h   (2).

Sätt in (2) i (1) och vi får

S’(3) = $\underset{h\to 0}{\lim }\frac{S\left(3\right)+h-S\left(3\right)}{h}$ = $\underset{h\to 0}{\lim }\frac{h}{h}$ = 1. Således: S’(3) = 1.