Funkar denna formel

Nej det funkar inte. I ditt svar har du med a_n+1 och då är det inte en sluten formel.

Om du betraktar den följd av summor som du skrivit upp:

1/2, 3/4, 7/8, 15/16, så kanske du anar ett mönster.

I första summan är avståndet 1/2 fram till 1, i andra summan är avståndet 1/4 fram till 1, i tredje 1/8 fram till 1.

Hur mycket fattas för att komma fram till 1 i summa a_k ? 

Om du tänker som jag är a_k = 1 – 1/2^k

Sedan är frågan hur man bevisar att det är så. Vi har ju ingen garanti att mönstret består för alla a_k.

Jag undrar om ett formellt bevis krävs i Ma 5.

Man kan tänka så här:

a_k = 1/2 + 1/4 + 1/8 + … + 1/2^k = 

Detta är summan av en geometrisk följd. Startvärdet är 0,5 och kvoten är 1/2. (Båda är ju en halv, men jag skriver dem olika för att inte röra ihop dem.)

Vi kan skriva

a_k = 0,5 * 1/2⁰ + 0,5 *1/2¹ + 0,5*1/2² + … + 0,5 * 1/2^k–1

Det ger

a_k = 0,5 [ (1/2)^(k–1)+1 – 1] / (1/2 –1)

     = 0,5 ( 1/2^k – 1) / (–1/2)

     = – (1/2^k – 1)
   

      = 1 – 1/2^k 

Detta är kanske vad man bör göra, men jag tycker det är ganska avancerat. Men det kan vara att jag är van att a_k är termer, inte summor. 

Marilyn skrev:

Jag undrar om ett formellt bevis krävs i Ma 5.

Man kan tänka så här:

a_k = 1/2 + 1/4 + 1/8 + … + 1/2^k = 

Detta är summan av en geometrisk följd. Startvärdet är 0,5 och kvoten är 1/2. (Båda är ju en halv, men jag skriver dem olika för att inte röra ihop dem.)

Vi kan skriva

a_k = 0,5 * 1/2⁰ + 0,5 *1/2¹ + 0,5*1/2² + … + 0,5 * 1/2^k–1

Det ger

a_k = 0,5 [ (1/2)^(k–1)+1 – 1] / (1/2 –1)

     = 0,5 ( 1/2^k – 1) / (–1/2)

     = – (1/2^k – 1)
   

      = 1 – 1/2^k 

Detta är kanske vad man bör göra, men jag tycker det är ganska avancerat. Men det kan vara att jag är van att a_k är termer, inte summor. 

Hej tack för ditt svar jag uppskattar verkligen det, men jag förstår inte riktigt var 1:an kommer ifrån 

Vanligen är a första termen och k kvoten. Då har vi (med en lätt justering av formeln som jag härledde i en annan tråd)

a+ak+ak²+ak³+ … +ak^n–1 = a (kⁿ – ETT)/(k–1)

därifrån kom den etta som jag tror du undrar över.

Sedan kanske du ”vill förstå” hur det kommer sig att det dyker upp en etta. Jag ska försöka:

Vad den rekursiva formeln beskriver är ett förlopp som skulle kunna beskrivas med ett äpple.

Dag 1 äter du halva äpplet. Nu återstår hälften.

Dag 2 äter du hälften av halvan som är kvar. Nu återstår en fjärdedel.

Dag 3 äter du hälften av det som är kvar. Det återstår en åttondel.

Dag 4 äter du hälften av det som är kvar. Det återstår 1/2⁴ äpplen.

…

Dag k äter du hälften som är kvar. Det återstår 1/2^k äpple.

Eftersom det återstår 1/2^k äpple har du totalt ätit 1–1/2^k äpple.

Det blir svårt att i praktiken fullfölja detta när vi ska börja klyva äppleatomer, men i matematiken har vi inga sådana hinder. Efter en månad återstår ungefär en miljardedel av äpplet. För varje dag kommer du närmare att ha ätit ETT HELT äpple. Det är där 1:an kommer in.