Fungerar Partialbråksuppdelning på alla integraler?
Hej!
Jagä är i nuläget upptagen med integraler och primitiva kapitlet i Analys 2 kursen men har lite svårt och se när exakt vilken metod som skall användas utav Variabelbyte, Partialbråksuppdelning och Partialintegration. Dessutom undrar jag om Partialbråksuppdelning är användbart på precis alla integraler och lite som ett alltid fungerande verktyg fast bökigt att använda bara?
För att svara på huvudfrågan: Nej, partialbråksuppdelning är inte en "one size fits all"-metod. Ett exempel är . Vi kan hitta integralen med andra metoder, men trots att det rör sig om ett bråk kan det inte integreras med partialbråksuppdelning (åtminstone inte direkt).
Edit: Ihopblandning av ord.
Variabelbyte är alltid det jag letar efter först, för det är enklast om det funkar. Tänk på att det egentligen bara är kedjeregeln baklänges, så försök att se om du kan hitta en funktion och dess derivata (ev med ngn konstant på) i ditt uttryck.
Funkar inte det och du har ett polynom så kolla vad rötterna kan vara. Om du har reella rötter du kan tänka dig att räkna ut är det dags för partialbråksuppdelning. Glöm inte att nämnaren måste ha högre grad än täljaren isf! Annars får man börja med polynomdivision.
Om det är ett polynom utan reella rötter kvadratkompletterar du och gör variabelbyte på din parentes så går det ofta få fram ngt med arctan. Om du har mer än en konstant som täljare brukar det behöva kombineras med ln.
När man sett att inget av de andra fungerar kan man börja tänka på partiell integration ;P. Ha då en plan redan när du börjar vart det är påväg. Funktioner som du inte kan integrera måste deriveras. Kan båda funktioner integreras så ska du titta på vilken som "försvinner" snabbast, tex så kan du derivera bort ett polynom, men inte tex sin eller cos. Sen är det bara köra.
Jag tror jag fick med de vanligaste fallen man stöter på i den kursen där. Men så brukar jag tänka iaf :)
Funkar endast på f(x)=polynom/polynom.
