Fungerar instängningslagen för konvergens/divergens uppgifter?
Hej!
Jag undrar nyfiken om instängningslagen fungerar för frågor som tex 4b eller är det bara gränsvärde? Antar att man kan tillämpa på de andra också.
- Ang 4b
Integranden är positiv i hela integrationsintervallet. Om du integrerar från 0 till M så kommer integralens värde växa med M. Om du hade kunnat ange en övre begränsning av dessa värden så hade du bevisat konvergens genom en sådan ”instängning”. Nu funkar nog inte detta just här. 2+sin x>=1 på hela int.intervallet och 1/(1+x) har denprimitiva fknen ln(1+x) som går mot oändl när x går mot oändl.
Tomten skrev:
- Ang 4b
Integranden är positiv i hela integrationsintervallet. Om du integrerar från 0 till M så kommer integralens värde växa med M. Om du hade kunnat ange en övre begränsning av dessa värden så hade du bevisat konvergens genom en sådan ”instängning”. Nu funkar nog inte detta just här. 2+sin x>=1 på hela int.intervallet och 1/(1+x) har denprimitiva fknen ln(1+x) som går mot oändl när x går mot oändl.
Ok så jämförelsesatsen ger då 0<=2+sin(x)/1+x<=1/1+x? Att integranden är positiv ser jag ej och hur visar man detta på en tenta ? Jag ser bara vad vi än stoppar in för värde på sinx så kommer det växa i oändlighet
Då sin x >=-1 måste 2+ sin x >1 som jag redan skrivit. Alltså är täljaren>1 Nämnaren 1+ x >=1 när x >= 0 Alltså också nämnaren >0. Det bevisar att integranden >0 för alla x i integrationsintervallet.
Vi har -1<=sin x<=1 för alla x, så den kan INTE ”växa i oändlighet”.
Det är inte ”jämförelsesatsen” som ger det du skriver. Det är ovanst. egenskap hos sin- fknen som ger detta.
Tomten skrev:Då sin x >=-1 måste 2+ sin x >1 som jag redan skrivit. Alltså är täljaren>1 Nämnaren 1+ x >=1 när x >= 0 Alltså också nämnaren >0. Det bevisar att integranden >0 för alla x i integrationsintervallet.
Vi har -1<=sin x<=1 för alla x, så den kan INTE ”växa i oändlighet”.
Det är inte ”jämförelsesatsen” som ger det du skriver. Det är ovanst. egenskap hos sin- fknen som ger detta.
Okej jag tror ej jag förstår längre tyvärr. Vill du förtydliga steg för steg? Hur kan sin bara vara större än 1> eller mindre eller lika med -1? Att sinx ligger mellan dessa två värden förstår jag för den är begränsad mellan dessa två. Men sen har jag tappat bort dig och jag har svårt att se hur jämförelsesatsen ej kan tillämpas här. Jag trodde hela jämförelsesatsen var att jämföra med en enklare funktion som man vet antingen divergerar eller konvergerar i förhållande till uppgiftens givna integrand
<= betyder ”mindre än eller lika med”
Att -1<= sin x är samma sak som att säga att ”sin x är större än eller lika med 1” så det avviker inte från det du tänker.
Kan du formulera det du kallar ”jämförelsesatsen” ? Själv skulle jag kalla den för ”jämförelsemetoden”.
Tomten skrev:<= betyder ”mindre än eller lika med”
Att -1<= sin x är samma sak som att säga att ”sin x är större än eller lika med 1” så det avviker inte från det du tänker.
Kan du formulera det du kallar ”jämförelsesatsen” ? Själv skulle jag kalla den för ”jämförelsemetoden”.
Du menar att det är samma sak som att sinx är större än eller lika med -1 och 1>sinx också?
"Om
0≤f(x)≤g(x)
för alla x i integrationsintervallet så gäller:
a) om den generaliserade integralen med g(x) som integrand är konvergent så är integralen med f(x) som integrand också konvergent,
b) om den generaliserade integralen med f(x) som integrand är divergent så är integralen med g(x) som integrand också divergent."
Detta är jämförelsesatsen
Bra! I 4b kan du då låta
g(x) = (2+sin x)/(1+x) = integranden och f(x)=1/(1+x) så har jag ovan visat att 0<=f(x)<= g(x) och att integralen av f(x) är divergent. Enligt b i din sats är då integralen av g(x) divergent.
Tomten skrev:Bra! I 4b kan du då låta
g(x) = (2+sin x)/(1+x) = integranden och f(x)=1/(1+x) så har jag ovan visat att 0<=f(x)<= g(x) och att integralen av f(x) är divergent. Enligt b i din sats är då integralen av g(x) divergent.
Ah okej men jag är lite förvirrad fortfarande.. för jag tänker typ att f(x)>g(x) och mitt f(x)=(2+sinx)<=1/1+x
Hur fick vi ens 1/1+x?
1. Notera att jag har f(x) =1/(1+x) och g(x) = (2+sin x)/(1+x). (Integranden)
2. f(x) är MINDRE än g(x) inte större.
3. Eftersom integral f(x) är divergent är också int g(x) divergent enligt satsen du skrev.
Tomten skrev:1. Notera att jag har f(x) =1/(1+x) och g(x) = (2+sin x)/(1+x). (Integranden)
2. f(x) är MINDRE än g(x) inte större.3. Eftersom integral f(x) är divergent är också int g(x) divergent enligt satsen du skrev.
Aha okej det där fattar jag. Jag fattar ej hur du kom på just 1/1+x? Och hur vet vi att g(x) divergerar ?
1/(1+x) kom till för att 2+sin x>=1 (eftersom sin x>=-1)
Det är integralen av g(x) som divergerar inte g(x)
Tomten skrev:1/(1+x) kom till för att 2+sin x>=1 (eftersom sin x>=-1)
Det är integralen av g(x) som divergerar inte g(x)
Jag förstår bara sinx>=-1 men ej hur sinx>=1? ska det ej vara -1<=2+sinx<=1? jag vet ej varför det ser ut som att sinx blev helt plötsligt större än 1 när 1 är egentligen större än sinx om vi tittar olikheterna. Okej integralen av g(x) divergerar och ej g(x) självt, det är skillnad ja.
Läs parentesen i föregående svar. Där står sin x>=-1 , INTE sinx>=1
Tomten skrev:Läs parentesen i föregående svar. Där står sin x>=-1 , INTE sinx>=1
ja jag läste din paretens och håller med, men jag förstår fortfarande ej varför du skriver att sinx>=1? för mig låter det mer rimligt att sinx<=1. Vill du visa hur du menar?
I så fall har jag skrivit fel. Var står det?
Tomten skrev:I så fall har jag skrivit fel. Var står det?
I #12 och #4 inläggen
destiny99 skrev:Tomten skrev:I så fall har jag skrivit fel. Var står det?
I #12 och #4 inläggen
Nej, där står det inte att sin x >1 som jag kan hitta.
#4:
Då sin x >=-1 måste 2+ sin x >1 som jag redan skrivit. Alltså är täljaren>1 Nämnaren 1+ x >=1 när x >= 0 Alltså också nämnaren >0. Det bevisar att integranden >0 för alla x i integrationsintervallet.
Vi har -1<=sin x<=1 för alla x, så den kan INTE ”växa i oändlighet”.
Det är inte ”jämförelsesatsen” som ger det du skriver. Det är ovanst. egenskap hos sin- fknen som ger detta.
#12:
1/(1+x) kom till för att 2+sin x>=1 (eftersom sin x>=-1)
Det är integralen av g(x) som divergerar inte g(x)
Det är (i båda fallen) uttrycket 2+sin(x) som är större än 1.
Smaragdalena skrev:destiny99 skrev:Tomten skrev:I så fall har jag skrivit fel. Var står det?
I #12 och #4 inläggen
Nej, där står det inte att sin x >1 som jag kan hitta.
#4:
Då sin x >=-1 måste 2+ sin x >1 som jag redan skrivit. Alltså är täljaren>1 Nämnaren 1+ x >=1 när x >= 0 Alltså också nämnaren >0. Det bevisar att integranden >0 för alla x i integrationsintervallet.
Vi har -1<=sin x<=1 för alla x, så den kan INTE ”växa i oändlighet”.
Det är inte ”jämförelsesatsen” som ger det du skriver. Det är ovanst. egenskap hos sin- fknen som ger detta.
#12:
1/(1+x) kom till för att 2+sin x>=1 (eftersom sin x>=-1)
Det är integralen av g(x) som divergerar inte g(x)
Det är (i båda fallen) uttrycket 2+sin(x) som är större än 1.
För mig är det självklart att 2+sinx<=1 och 2+sinx>=-1. Vad som stör min hjärna är att se på 2+sinx<1 som tomten skrev. Dock förstår jag ej varför sinx>1 och varför man vänder på olikheten. Om 2+sinx nu är större än 1 , varför säger man att sinx<1 då när man skriver -1<=sinx<=?
destiny99 skrev:Smaragdalena skrev:destiny99 skrev:Tomten skrev:I så fall har jag skrivit fel. Var står det?
I #12 och #4 inläggen
Nej, där står det inte att sin x >1 som jag kan hitta.
#4:
Då sin x >=-1 måste 2+ sin x >1 som jag redan skrivit. Alltså är täljaren>1 Nämnaren 1+ x >=1 när x >= 0 Alltså också nämnaren >0. Det bevisar att integranden >0 för alla x i integrationsintervallet.
Vi har -1<=sin x<=1 för alla x, så den kan INTE ”växa i oändlighet”.
Det är inte ”jämförelsesatsen” som ger det du skriver. Det är ovanst. egenskap hos sin- fknen som ger detta.
#12:
1/(1+x) kom till för att 2+sin x>=1 (eftersom sin x>=-1)
Det är integralen av g(x) som divergerar inte g(x)
Det är (i båda fallen) uttrycket 2+sin(x) som är större än 1.
För mig är det självklart att 2+sinx<=1
Det är inte självklart för mig - om x = pi/3 blir 2+sin(x) = 2+1 = 3
och 2+sinx>=-1.
Det håller jag med om
Vad som stör min hjärna är att se på 2+sinx<1 som tomten skrev.
Det skrev inte Tomten, utan 2+sinx >=1
Dock förstår jag ej varför sinx>1 och varför man vänder på olikheten.
Nej, sinus kan aldrig vara större än 1 (om man inte sysslar med komplexa tal)
Om 2+sinx nu är större än 1 , varför säger man att sinx<1 då när man skriver -1<=sinx<=?
Sinus för någon vinkel kan variera mellan -1 och +1, inklusive dessa värden.
Smaragdalena skrev:destiny99 skrev:Smaragdalena skrev:destiny99 skrev:Tomten skrev:I så fall har jag skrivit fel. Var står det?
I #12 och #4 inläggen
Nej, där står det inte att sin x >1 som jag kan hitta.
#4:
Då sin x >=-1 måste 2+ sin x >1 som jag redan skrivit. Alltså är täljaren>1 Nämnaren 1+ x >=1 när x >= 0 Alltså också nämnaren >0. Det bevisar att integranden >0 för alla x i integrationsintervallet.
Vi har -1<=sin x<=1 för alla x, så den kan INTE ”växa i oändlighet”.
Det är inte ”jämförelsesatsen” som ger det du skriver. Det är ovanst. egenskap hos sin- fknen som ger detta.
#12:
1/(1+x) kom till för att 2+sin x>=1 (eftersom sin x>=-1)
Det är integralen av g(x) som divergerar inte g(x)
Det är (i båda fallen) uttrycket 2+sin(x) som är större än 1.
För mig är det självklart att 2+sinx<=1
Det är inte självklart för mig - om x = pi/3 blir 2+sin(x) = 2+1 = 3
och 2+sinx>=-1.
Det håller jag med om
Vad som stör min hjärna är att se på 2+sinx<1 som tomten skrev.
Det skrev inte Tomten, utan 2+sinx >=1
Dock förstår jag ej varför sinx>1 och varför man vänder på olikheten.
Nej, sinus kan aldrig vara större än 1 (om man inte sysslar med komplexa tal)
Om 2+sinx nu är större än 1 , varför säger man att sinx<1 då när man skriver -1<=sinx<=?
Sinus för någon vinkel kan variera mellan -1 och +1, inklusive dessa värden.
Nej men han skrev 2+sinx>=1 men jag tänker det borde bli 2+sinx<=1. Så skälet till att man väljer att skriva just 2+sinx>=1 är för att säga att för alla x positiva som negativa måste vara större än 1? Men det går väl emot det här att sinx aldrig kan vara större än 1? Att sinus varierar för någon vinkel mellan-1 och 1 förstår jag.
Nej men han skrev 2+sinx>=1 men jag tänker det borde bli 2+sinx<=1. Så skälet till att man väljer att skriva just 2+sinx>=1 är för att säga att för alla x positiva som negativa måste vara större än 1? Men det går väl emot det här att sinx aldrig kan vara större än 1? Att sinus varierar för någon vinkel mellan-1 och 1 förstår jag.
Du skriver att du vet att sinus varierar mellan -1 och 1.
Är du med på att 2+sinx varierar mellan 2+1 = 3 och 2+(-1) = 2-1 = 1?
Smaragdalena skrev:Nej men han skrev 2+sinx>=1 men jag tänker det borde bli 2+sinx<=1. Så skälet till att man väljer att skriva just 2+sinx>=1 är för att säga att för alla x positiva som negativa måste vara större än 1? Men det går väl emot det här att sinx aldrig kan vara större än 1? Att sinus varierar för någon vinkel mellan-1 och 1 förstår jag.
Du skriver att du vet att sinus varierar mellan -1 och 1.
Är du med på att 2+sinx varierar mellan 2+1 = 3 och 2+(-1) = 2-1 = 1?
Aa det gör jag men jag förstår ej hur 2+sinx>=1? Antar ni menar att sinx>=1-2 dvs sinx>=-1?
destiny99 skrev:Smaragdalena skrev:Nej men han skrev 2+sinx>=1 men jag tänker det borde bli 2+sinx<=1. Så skälet till att man väljer att skriva just 2+sinx>=1 är för att säga att för alla x positiva som negativa måste vara större än 1? Men det går väl emot det här att sinx aldrig kan vara större än 1? Att sinus varierar för någon vinkel mellan-1 och 1 förstår jag.
Du skriver att du vet att sinus varierar mellan -1 och 1.
Är du med på att 2+sinx varierar mellan 2+1 = 3 och 2+(-1) = 2-1 = 1?
Aa det gör jag men jag förstår ej hur 2+sinx>=1? Antar ni menar att sinx>=1-2 dvs sinx>=-1?
2+sinx kan inte bli mindre än 1. Tomten vill ta fram nånting som är större än 1 för att kunna resonera vidare från detta.
Smaragdalena skrev:destiny99 skrev:Smaragdalena skrev:Nej men han skrev 2+sinx>=1 men jag tänker det borde bli 2+sinx<=1. Så skälet till att man väljer att skriva just 2+sinx>=1 är för att säga att för alla x positiva som negativa måste vara större än 1? Men det går väl emot det här att sinx aldrig kan vara större än 1? Att sinus varierar för någon vinkel mellan-1 och 1 förstår jag.
Du skriver att du vet att sinus varierar mellan -1 och 1.
Är du med på att 2+sinx varierar mellan 2+1 = 3 och 2+(-1) = 2-1 = 1?
Aa det gör jag men jag förstår ej hur 2+sinx>=1? Antar ni menar att sinx>=1-2 dvs sinx>=-1?
2+sinx kan inte bli mindre än 1. Tomten vill ta fram nånting som är större än 1 för att kunna resonera vidare från detta.
Okej då förstår jag. Facit gör på det här sättet. Förstår ej varför de gör så. Skulle vår sätt vara godtagbart eftersom vi visade att f(x) integrand divergerar så divergerar integranden g(x)?
Ja
