Funderingar kring omskrivning

På A, 4sin(x)/cos(x)=4tan(x), det är helt annorlunda. Det sistnämnda stämmer dock.

På B, ja. Nu kan man använda exempelvis formeln för sin(u+v).

Dracaena skrev:

På A, 4sin(x)/cos(x)=4tan(x), det är helt annorlunda. Det sistnämnda stämmer dock.

På B, ja. Nu kan man använda exempelvis formeln för sin(u+v).

Ja okej, tack,

Varför har facit valt att skriva om sin(4x) som sin(2 • 2x)? Båda funkar alltså? Man har betraktat tvåan som dubbla vinkeln där u = 2x. (Enligt sin2u)

Ja, det kan man göra. Det är vanligt att göra så för att underlätta utvecklingen med dubblavinkeln. 

Dracaena skrev:

Ja, det kan man göra. Det är vanligt att göra så för att underlätta utvecklingen med dubblavinkeln. 

Hur blir det om det står större tal? Till exempel

Sin8x 

Eller udda som

Sin5x?

Du måste kunna skriva vinkeln som 2*ngt, så för 8 blir det bara hälften varje gång. 

Om du ex ansätter v=4x får du sin(2v)

Dracaena skrev:

Du måste kunna skriva vinkeln som 2*ngt, så för 8 blir det bara hälften varje gång. 

Om du ex ansätter v=4x får du sin(2v)

Om sin8x blir det då

Sin(2 • 4x) där 4x= u

Sedan löses detta ut genom 

Sin(2 • 4x) = 2 sin4x • cos4x

Hur löses detta ut ytterligare? Ska sin4x och cos4x utvecklas ännu mer? T.ex. till sin(2•2x)? Dvs

2 • sin4x • cos4x = 

2 × sin(2•2x) • cos(2•2x) 

?

Annars kan man väl skriva om sin8x till

Sin(4x+4x) och lösa ut mha additionsformeln? Eller blir det ännu krångligare?

Du kan nog få ihop det med additionsformeln, ja.

Jag visar upp till sin(4x)

sin(2x)=2sin(x)cos(x)

sin(4x)=sin(2u) om u=2x:

sin(2u)=2cos(u)sin(u):

byt tillbaka:

sin(4x)=2cos(2x)sin(2x)

sin(4x)=2cos(2x)(2sin(x)cos(x))=4cos(2x)(sin(x)cos(x))

Nu kan man skriva om cos(2x) om man vill osv..

Tack sin(4x) är jag med på nu.

Men blir lite osäker när det blir sin(8x) med tanke på förenklingarna, men egentligen är det då bara att göra om det till dubbla vinkeln "flera gånger"?

Samma sak, då hade vi haft en sin(2x) i mitten, och då gör vi om det igen bara. :)

Varje gång så blir vinkeln v=v/2. Har vi 8, som är 2^3 så har vi 3 st sin(2x). Nu hade vi 2^2=4 så vi hade bara 2 sin(x). hade du haft 256 så hade du haft 2^8, alltså 8st sin(2x) 

Dracaena skrev:

Samma sak, då hade vi haft en sin(2x) i mitten, och då gör vi om det igen bara. :)

Varje gång så blir vinkeln v=v/2. Har vi 8, som är 2^3 så har vi 3 st sin(2x).

Hur menar du att du hade skrivit det?

Formeln är sin2u, och jag vill skriva sin(8x), visst är 8 = 2^3, men hur skriver jag att vi har 3st sin2x? 

3 × sin2x? Men det är väl inte samma sak som sin8x?

Nu hade vi 2^2=4 så vi hade bara 2 sin(x). hade du haft 256 så hade du haft 2^8, alltså 8st sin(2x) 

sin(8x) producerar en sin(2x) i form av u=4x: sin(2u)

sin(4x) producerar en sin(2x) i form av u=2x: sin(2u)

sin(2x) är en sin(2x) redan, producerad från att vi halverar vinkeln. 

Total 3 st sin(2x).

Dracaena skrev:

sin(8x) producerar en sin(2x) i form av u=4x: sin(2u)

sin(4x) producerar en sin(2x) i form av u=2x: sin(2u)

sin(2x) är en sin(2x) redan, producerad från att vi halverar vinkeln. 

Total 3 st sin(2x).

Jag tror jag är med på det. Men blir osäker kring hur jag ska ta mig vidare? 

Jag testade göra såhär

$$\begin{gathered} \sin \left(8x\right) \\ \sin (2*4x) \\ 2 \sin \left(4x\right) * \cos \left(4x\right) \\ 2 \sin (2*2x) * \cos (2*2x) \\ 2 * (2* \sin 2x * \cos 2x) ( {\cos }^2 2x - {\sin }^{2}2x) \\ men sedan tar det stopp.. \end{gathered}$$

Det känns som att denna metod inte riktigt är hållbar. Jag tror att din är smidigare men jag förstår inte riktigt hur jag ska skriva om och förenkla så att det blir 3st sin2x

Jag insåg precis ett intressant samband!

sin(8x)=2sin(4x)cos(4x)
2sin(4x)cos(4x)=2cos(4x)(2cos(2x)sin(2x))
2cos(4x)(2cos(2x)sin(2x))=4cos(4x)cos(2x)(2sin(x)cos(x))
4cos(4x)cos(2x)(2sin(x)cos(x)) = 8cos(4x)cos(2x)cos(x)sin(x)

Det verkar som att det finns en formel för sin(2^n).  :)

Ja, det verkar finnas en sluten formel! 

Man skulle alltså kunna skriva detta som en rekursiv formel, eller som en summa. Vill man verkligen visa att detta stämmer får man nog använda sig av ett induktionsbevis. Intressant.. :)

Intressant! Tror dock detta ligger utanför ma4 så får kika på det på egen hand lite senare. Tack för hjälpen Dracaena!

Ja, matematik 5 skulle jag väl säga är lämpligt. Då hade vi kanske kunnat utforska om vi kan bevisa det med ett induktionsbevis! 

Ifall du var intresserad, så lyckades jag få ihop en formeln som verkar stämma (notera, jag har inte försökt bevisa det):

$\displaystyle \sin(2^nx) = [ \prod_{n=0}^{n-1} \cos(2^nx) ]2^n \sin(x)$

Detta är då precis som en $\sum$ förutom att vi multiplicerar allting istället för att addera.

Det viktiga är att du förstår hur man kan använda dubblavinkeln. Du kan som du sa tidigare också använda sin(u+v). Vilken du ska använda tycker jag beror på uppgiften. 

Ska du integrera sin(x)cos(x) så kan det vara fiffigt att skriva om det som uttryck i sin(2x). om du har typ sin(8x) eller liknande så är det väl sällan man i matematik 4 ska rekursivt använda dubblavinkeln. :)

Säg till om något är oklart!