Fundering över Cauchys integralkriterium.

Hej!

Om funktionen inte är avtagande så kan inte serien $\sum_{k=1}^{\infty}f\left(k\right)$ konvergera eftersom vi adderar större och större tal. Så den mest "användbara" versionen av satsen är nog definitivt då vi antar att $f$ är avtagande.

Jag uttryckte mej lite luddigt. Jag undrade om satsen blir felaktig om man tar bort kravet att funktionen måste vara avtagande. För satsen är väl fortfarande sann om man tar bort detta krav?

Ta till exempel

$f\left(x\right)=\sin (2\pi x+\frac{3\pi }{2})+1$

Den antar värdet 0 i alla heltalspunkter. Så om vi definierar

$g\left(x\right)=f\left(x\right)+2^{-x}$

så får vi

$\sum _{k=1}^{\infty }g\left(k\right)=\sum _{k=1}^{\infty }f\left(k\right)+\sum _{k=1}^{\infty }{2}^{-k}=0+1=1$

är konvergent. Å andra sidan är integralen

${\int }_1^{\infty }g\left(x\right) dx$

uppenbart divergent. g(x) är positiv och kontinuerlig så vi inser att kravet att g(x) är avtagande är inte överflödigt.

Stiligt! Tack så mycket!