Fundering: om två funktioner är lika på ett intervall är de lika överallt

Varför räcker inte deriverbar överallt? Eller vad menar du med överallt, hela C eller hela R? 

Och för att jag inte kan låta bli att förvirra dig lite till, visste du att en series konvergensradie är avståndet till närmsta singularitet i C? 😜😅

|x^3| och x^3 är båda deriverbara överallt och är lika för x störrelikamed 0

R->R

|x^3| är inte ens deriverbar överallt i R. För att få leka med sånna roliga satser tror jag du måste titta på hela C

Eller det kanske den är när jag tänker efter.. Vill du ha en funktion som är deriverbar överallt i C brukar det funka att stoppa in x+iy i en vanlig funktion. Tex (x+iy)^3=(x^3-3xy^2)+i(3yx^2-y^3) 

Eller föresten, måste de inte vara lika om de är lika i en punkt och derivatan är lika överallt? Fast det kanske är för tråkigt. Tror du kan vara påväg nånstans med iden om serien.

$\frac{d}{dx}|x^3|=\frac{d}{dx}\sqrt{x^6}=...$

tomast80 skrev:

$\frac{d}{dx}|x^3|=\frac{d}{dx}\sqrt{x^6}=...$

De är väl samma funktion? (X^6)^1/2=x^3, fast en rot är >=0, så |x^3|?

Formulerar man det lite oförsiktigt så får man triviala motexempel som att alla olika funktioner som går genom punkten (a,b) är lika på intervallet [a,a] utan att vara lika överallt. Men nu ska jag inte vara så tråkig. :)

Två analytiska funktioner f och g, med en öppen och sammanhängande definitionsmängd, är identiska överallt om de är identiska på en delmängd med gränspunkt i definitionsmängden (delmängden behöver alltså inte själv vara ett sammanhängande intervall).
Säg t.ex. att vi har funktionerna f och g med $\mathrm{ℂ}$ som definitionsmängd, och vi har delmängden D = {1, (1/2), (1/4), (1/8), ...}. Om f(x)=g(x) för alla x∈D så är de lika för alla x i hela $\mathrm{ℂ}$. Det är inte så intuitivt (åtminstone inte för mig) och rätt fascinerande eftersom det betyder att alla analytiska funktioner är helt bestämda av hur de beter sig på bara en liten bit av sin definitionsmängd.

For further reading, kolla på identitetsteoremet och denna klara och koncisa formulering av det.

Micimacko skrev:

Och för att jag inte kan låta bli att förvirra dig lite till, visste du att en series konvergensradie är avståndet till närmsta singularitet i C? 😜😅

No. Way. What the f. Vad är namnet på denna smaskiga sats? (Jag råkar ju veta vad en singularitet är redan!)

Russell skrev:

...eftersom det betyder att alla analytiska funktioner är helt bestämda av hur de beter sig på bara en liten bit av sin definitionsmängd.

Ja... Det låter väldigt konstigt, men vad har det du skrivit med min förmodan att göra?

Jag menar alltså funktioner R till R?

Qetsiyah skrev:

Russell skrev:

...eftersom det betyder att alla analytiska funktioner är helt bestämda av hur de beter sig på bara en liten bit av sin definitionsmängd.

Ja... Det låter väldigt konstigt, men vad har det du skrivit med min förmodan att göra?

Jag menar alltså funktioner R till R?

Det missade jag. 

Qetsiyah skrev:

Ja. Det är mitt påstående.

Först trodde jag att det var tillräckligt att båda funktionerna var kontinuerliga, det var inte tillräckligt.

Deriverbar överallt var inte heller tillräckligt.

Glatt var inte heller tillräckligt ty en taylorserie av ln är motbevis.

Nu säger jag att båda funktionernas taylorserier ska ha oändlig konvergensradie. Räcker det?

Jag ser detta först nu, och jag blir nyfiken på hur du menar när du säger att den naturliga logaritmen är ett motbevis. Jag är nämligen ganska säker på att den naturliga logaritmen har en entydig utvidgning utifrån varje intervall (med några grundläggande antaganden).

Va? Jag menar att taylorserien av lnx är lika med lnx i ett ändligt intervall, utanför intervallet (konvergensradien) är de inte lika med varandra.

Alltså räcker inte glatthet ty ln är glatt

Qetsiyah skrev:

Va? Jag menar att taylorserien av lnx är lika med lnx i ett ändligt intervall, utanför intervallet (konvergensradien) är de inte lika med varandra.

Alltså räcker inte glatthet ty ln är glatt

Fast det enda rimliga är väl att endast jämföra två funktioner om de har samma definitionsmängd. Annars är väl lika gärna ha $f(x)=x^2$ på $[0,1]$ och $g(x)=x^2$ på $[0,1)$ som motexempel, och det är väl knappast vad du vill.

Jag tycker att en bra formalisering av din fundering är:

Låt $f$ och $g$ vara definierade på det sammanhängande intervallet $V\subseteq\mathbb{R}$ och låt dem uppfylla [villkor]. Låt även $f(x)=g(x)$ för alla $x$ tillhörande ett sammanhängande intervall $U\subseteq V$. Då är $f(x)=g(x)$ för alla $x\in V$.

Vilka [villkor] måste vi ställa för att påståendet skall vara sant?

Kontinuitet är inte nog, för det motbevisas av t.ex.

$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R};\ \ \ f(x)=1$

$g:\mathbb{R}\to\mathbb{R};\ \ \ g\left(x\right)=\{\begin{matrix}1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{fo}\"\text{r}\ x\leq0\\ 1+x\ \ \ \ \text{fo}\"\text{r}\ x>0\end{matrix}$

som är lika för alla $x\leq0$

Inte heller deriverbarhet är nog, för då kan vi ta

$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R};\ \ \ f(x)=1$

$g:\mathbb{R}\to\mathbb{R};\ \ \ g\left(x\right)=\{\begin{matrix}1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{fo}\"\text{r}\ x\leq0\\1+x^2\ \ \ \text{fo}\"\text{r}\ x>0\end{matrix}$

som är lika för alla $x\leq0$

Inte ens glatthet räcker, för vi kan ta

$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R};\ \ \ f(x)=1$

$g:\mathbb{R}\to\mathbb{R};\ \ \ g\left(x\right)=\{\begin{matrix}1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{fo}\"\text{r}\ x\leq0\\1+e^{-1/x}\ \ \ \text{fo}\"\text{r}\ x>0\end{matrix}$

som är lika för alla $x\leq0$.

Vad kan egentligen vara ett rimligt kriterium? (Du är någonting på spåren när du talar om taylorserier).

(Haha, ingenting om R->R? Äntligen fångar jag nån annan på en petsak)

Istället för att formalisera sådär kan vi säga att de måste vara lika med varandra om båda är def där (om den ena inte är def bryr vi oss inte om den punkten).

Qetsiyah skrev:

(Haha, ingenting om R->R? Äntligen fångar jag nån annan på en petsak)

Istället för att formalisera sådär kan vi säga att de måste vara lika med varandra om båda är def där (om den ena inte är def bryr vi oss inte om den punkten).

(Var tycker du det saknas $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$? Jag är inte riktigt med.)

Nja, vi måste nog faktiskt kräva att båda funktionerna skall ha samma definitionsmängd. Om du börjar tillåta en massa diskontinuiteter finns det inga vettiga villkor, eftersom en funktions beteende före en diskontinuitet inte bestämmer hur funktionen beter sig efter diskontinuiteten över huvud taget. Det är ju trots allt det vi försöker fånga med påståendet, att en funktions beteende i en viss omgivning bestäms av funktionens beteende i en annan omgivning (och det är inte sant för diskontinuerliga funktioner!).

Jag tycker därför att vi bör enas om att båda funktionerna skall vara definierade på ett sammanhängande intervall i $\mathbb{R}$.

Ja, i din formalisering skriver du inte R-R.

Okej! Jag accepterar din formalisering.

Ja asså villkoret, som jag redan sagt (men som behöver formaliseras), är att båda funktioners taylorserier (kring godtycklig punkt i Df) måste konvergera mot funktionen överallt. e^(-1/x) uppfyller inte detta.

Hjälper min tråd här? https://www.pluggakuten.se/trad/analys-om-en-funktion-ar-glatt-sa-kan-den-inte-vara-olinjar-sedan-linjar/

Jag tänker att det handlar om lite samma, att en funktion kan ändra sitt beteende men inte för plötsligt?

Qetsiyah skrev:

Ja, i din formalisering skriver du inte R-R.

Okej! Jag accepterar din formalisering.

Ja asså villkoret, som jag redan sagt (men som behöver formaliseras), är att båda funktioners taylorserier (kring godtycklig punkt i Df) måste konvergera mot funktionen överallt. e^(-1/x) uppfyller inte detta.

Hjälper min tråd här? https://www.pluggakuten.se/trad/analys-om-en-funktion-ar-glatt-sa-kan-den-inte-vara-olinjar-sedan-linjar/

Jag tänker att det handlar om lite samma, att en funktion kan ändra sitt beteende men inte för plötsligt?

Nä, men är det verkligen nödvändigt? Jag skriver ju att funktionen skall vara definierad på ett intervall $V\subseteq\mathbb{R}$, vilket kan, men måste inte, betyda att definitionsmängden är $\mathbb{R}$.

Du nämner att villkoret att funktionen har taylorserier med oändliga konvergensradier i alla punkter är tillräckligt. Detta är förvisso sant, men det är faktiskt lite starkare än vad som behövs. Med min formalisering är faktiskt funktioner som $f:\mathbb{R}_{>0}\to\mathbb{R};\ \ \ \ f(x)=\ln(x)$ och $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R};\ \ \ \ f(x)=1/(x^2+1)$ entydiga, och även fast dessas taylorserier inte har oändliga konvergensradier.

Jag råkar veta svaret på denna fråga (motsvarande påstående för komplexa funktioner, som Russell omnämner, råkar vara en välkänd sats), och det är nämligen så att det krävs att funktionen är reell-analytisk, det vill säga att funktionen har en taylorserie med konvergensradie större än noll (men inte nödvändigtvis oändlig!) i varje punkt.

Försök att själv fundera på varför ett sådant här påstående har med just taylorserier att göra, och varför glatthet inte räcker.

Om två reella analytiska funktioner är lika på ett intervall, där måttet av intervallet är större än 0 (det kan ej vara en isolerad punkt), så måste de vara lika överallt. Kan du se hur detta hänger ihop med ditt resonemang med Taylorserie, och kan du bevisa detta nu?

Jag (och förmodligen även Alvin) kan återkomma med beviset om du ger upp. Det är dock inte helt trivialt då man måste kunna lite enklare topologi.