Fundering om topologi som ämne

bump

Det finns dessutom en Abstrakt Topologi som axiomatiseras med enbart punkter och öppna mängder som primitiva begrepp ( alternativt med punkter och omgivningar ).

Man kammar kokosnötter också. 

Kombinatorik är väl också ett besläktat ämne. Tog en kurs i kombinatorik och insåg att det inte alls vad var jag hade lärt mig i statistiken, utan det var praktiskt taget grafteori. Kombinatorisk topologi är väl vad algebraisk topologi hette förut, om jag har förstått rätt.

Några snabba kommentarer:

Vad är topologi? Jag har nog inget jättebra svar på detta får jag erkänna. Lite vagt kan man kanske säga att att det är studiet av deformationsinvarianta egenskaper hos matematiska objekt (under olika mer eller mindre restriktiva definitioner av 'deformation'), eller att det är studiet av koncept där kontinuitet har en avgörande betydelse.

I praktiken är det dock svårt att fånga topologiämnets själ i bara en eller ett par meningar, precis som det är svårt att kortfattat förklara vad analys, algebra eller geometri är (eller mer generellt: vad matematik är). Därmed inte sagt att ordet är oklart på något sätt; jag tror de flesta som har läst matematik ett tag har en ganska så tydlig känsla för vad som har respektive inte har att göra med topologi att göra, men sättet man får den känslan är inte att läsa en definition, utan att lyssna på hur mer erfarna matematiker pratar och utifrån det plocka upp möntret. (Det vill säga ungefär så som all annan språkinlärning också fungerar!)

Är populärtopologi falsk marknadsföring? Mja, kanske lite. Men det är väl med topologi som med alla andra delar av matematiken. Det finns vissa koncept, frågor, resultat och bevis som är väldigt intuitiva och lättillgänliga om man lägger fram dem på rätt sätt (t.ex. en del av grunderna i knutteori, vågrörelser från analysen eller symmetri från algebran), medan vissa andra koncept, frågor, resultat och bevis är mer tekniska och abstrakta, och svåra att säga ens säga något alls om till en oinvigd utan att man först sitter ner en stund med papper och penna (ett basic exempel är kompakthet i topologin, fullständighet i analysen och gruppaxiomen i algebran). Ofta lyfter man fram de mest inuitiva delarna i populärmatematiska sammanhang, så att man enkelt kan måla upp en slags berättelse som lyssnaren kan relatera till. Och visst, då kan det upplevas lite som falsk marknadsföring när folk kommer och läser en grundkurs i något på universitet.

Topologi är kanske lite mer så här än många andra ämnen, så till vida att många grundkurser fokuserar nästan helt på så kallad punkt-mängdstopologi, som rymmer några av de mest torra och tekniska bitarna av ämnet, medan coolare saker som knutar, öglor, torusar, byxor, Klein-flaskor och algebraiska metoder för att upptäcka mystiska hålrum skjuts upp till senare kurser i mångfaldsteori och algebraisk topologi. Detta beror delvis på att punkt-mängdstopologin behövs som grund för att kunna studera de här andra lite mer mer spännande sakerna (och mycket annat viktigt, både i och utanför topologin) ordentligt med full stringens, och därför är något man vill få överstökat tidigt i utbildningen, men jag kan absolut tycka att det synd att gömma några av de mest vackra och spännande delarna av topologin bakom en mur av abstraktion och teknikaliter. Om man tillåter sig att temorärt släppa på (eller kanske snarare: skjuta upp) rigorositeten lite kan man komma väldigt långt med vår vanliga geometriska intuition redan i en grundkurs och på vis ge studenterna en lite mer representativ bild av topologiämnet.

Ja, det är just kategorisering jag försöker göra när jag frågar i vilken kurs man lär sig en viss sak. Det brukar inte alltid finnas ett rakt svar på det, men som du säger plockar jag upp det mellan raderna i alla svar jag får. (jag har googlat "funktionalanalys" ett antal gånger i förtvivad förhoppning att få olika resultat, men det fick jag inte. Tills jag insåg att det inte måste heta det för att innehålla det, avancerad reell analys i KTH till exempel). Kanske därför jag vill lära mig kategoriteori hahaha.

Jag vill gärna approcha från analyshållet. För länge sen sa jag att jag var intresserad av differentialgeometri, det har legat lite på is, men det kommer nog tillbaka nångång. 

Det känns som att topologi poppar upp lite varsom i mina äventyr i analys och linjär algebra. So much so det inte ens känns som ett eget ämne, kan man plocka upp bitar av det längs en annan väg?  Jag tror inte att jag är speciellt intresserad av att läsa bara topologi... 

Punkt-mängdstopologi kan vara rätt torrt och tekniskt, så det bästa är om man redan innan man börjar en sådan kurs har sett något ämnesområde där topologi används som verktyg, så att man kan använda den tillämpningen för att motivera och exemplifiera de centrala definitionerna och resultaten.

Exempel på ställen där punkt-mängdstopologi dyker upp som verktyg är olika former av analys, differentialgeoemtri samt även andra delar av topologiämnet såsom algebraisk topologi. Alla de här ämnena fungerar som inkörsport till punkt-mängdstopologin och kan/bör läras ut mer eller mindre parallelt. Vad som passar bäst beror lite på vilka delar av punkt-mängdstologin det handlar om.

Ett typexempel är Arzela-Ascolis sats som dyker upp i det flesta punkt-mängdsböcker, men som det knappt makear någon sense att lära ut innnan man har sett så pass mycket analys att man dels har en känsla för varför ekvikontinuitet är intressant och varför satsen är avändbar, och dels inser att det klassiska diagonaliseringsargumentet i beviset kan användas även i andra situationer.

Så fr att svara på frågan: Punkt-mängdstopologi är ett typsikst sådant ämne som man med fördel kan försöka plocka upp i takt med att man stöter på det inom andra matematikgrenar. Det kan vara bra att ha koll på några bra standardböcker att ha som referens (Munkres är en personlig favorit), och sedan konsultera dem i den mån det behövs när du stöter på begrepp och resultat i andra sammanhang. Vissa satser kan man black-boxa lite tills vidare. Förr eller senare lär du komma till en punkt när du känner att du behöver en djupare förståelse för topologi för att utvecklas vidare i en viss riktning, och då kan det vara dags att läsa en renodlad kurs i punkt-mängdstopologi.