Fundering om topologi, mångfalder och symaskiner
Hej. Jo, en mångfald liknar lokalt Rn. Det slog mig då jag försökte sy med symaskin på en del svåråtkomliga ställen, jag slet och vred och drog på tyget och det var en stor röra överallt utom där symaskinen syr, för där måste det ju vara platt.
Det var allt.
Edit: men plagget är ju lokalt likt R2 överallt, nu förstår jag inte heller riktigt vad jag vill säga. Det är inget speciellt med det stället jag syr på.
Berodde väl på vad du sydde och hur du syr.
Att sy med maskin är ju också ett hantverk i hur man viker och planerar sina sömmar och hur man viker tyget när man syr. Är inte bara en funktion av slutproduktens topologi.
Ta exempel att göra en cylinder av två rektangulära tygbitar. Du kan göra det på flera olika vis och några kommer att vara krångliga at sy med maskin medan andra kommer att vara enkla.
Det är hur man syr ihop bitarna som avgör hur böjligt, mjukt och användbart lapptäcket blir.
Det du (kanske?) är ute efter är inte bara topologin, utan även geometrin. Dina tygbitar är inte så töjbara, utan har ett lokalt avstånd mellan olika punkter. Om du klistrar på vissa sätt så kan det ställa till det. Det går att använda på lite roliga sätt, du kan exempelvis sy en hyperbolisk poncho/filt som i följande länk:
Nu kan jag verkligen ingenting om att sy saker med symaskin (jag fick knappt symaskinskörkort i grundskolan), men ett klassiskt resultat från differentialgeometrin, som kanske har något att göra med detta, är Theorema Egregium, som säger att den så kallade gausskrökningen hos en yta bevaras under isometriska deformationer (som bevarar avstånd och vinklar på ytan, vilket exv. är fallet om man böjer eller vrider den, utan att töja ut den).
Detta är bland annat förklaringen till varför man inte kan platta ut ett bit apelsinskal (eller göra en vettig plan karta av ett stort landområde); alla punkter på en sfär har positiv krökning, men på ett plan har alla punkter krökningen noll.
Japp, det hänger ihop med Gausskrökningen. I princip så kan man tänka sig att man klistrar/syr ihop trianglar. Sätter man ihop dem tre och tre i varje hörn så får man en tetraeder, vilket i princip motsvarar en sfär (och alltså har positiv gausskrökning). Med 4 trianglar vid varje hörn så får vi oktaedrar och med 5 så får vi ikosaeder. Båda kan ses som sfärer (men tetraedern kröker sig skarpare än oktaedern osv, dvs Gausskrökningen minskar). Med 6 trianglar får vi ett (tesselerat) plan, dvs krökning 0. Med 7 trianglar vid varje hörn så borde vi alltså få något med negativ krökning, ett hyperboliskt plan!
Det är ett sådant plan de försökt modellera genom att sy ihop polygoner på rätt sätt.
