fundering kring arccosfunktion

Hej! Jag fortsätter en del av diskussionen som var i tråden "cos(2x) + 1/2 = 0" i denna tråd istället.

Ekvationen är av denna typ: ${\cos }^2\left(t\right) = \frac{1}{4} => \cos \left(t\right) = \pm \frac{1}{2}$

Jag vill lösa den på detta sätt (vilket f.ö. är precis så den löses i av mina läroböcker):

$$\begin{gathered} \cos \left(t\right) = \pm \frac{1}{2} \\ I. \cos \left(t\right) = \frac{1}{2} => t=t_{1,2}=\pm \frac{\mathrm{\pi }}{3} + 2\mathrm{\pi k} \\ \mathrm{II}. \cos \left(\mathrm{t}\right) = -\frac{1}{2}=> \mathrm{t}={\mathrm{t}}_{3,4}=\pm \frac{2\mathrm{\pi }}{3} + 2\mathrm{\pi k} \end{gathered}$$

Använder jag dock wolframalpha fås ett helt annat svar: https://www.wolframalpha.com/input/?i=cos%5E2(t)+%3D+1%2F4

Varför förstår jag inte.

Om man istället tänker sig denna ekvation med lösningar enligt följande så ser vi en period på pi*k.$\cos \left(2x\right) = -\frac{1}{2} \Rightarrow 2x = \pm arc\cos (-\frac{1}{2}) + 2\mathrm{\pi k} =\pm (\mathrm{\pi }-\frac{\mathrm{\pi }}{3}) + 2\mathrm{\pi k} = \pm \frac{2\mathrm{\pi }}{3} + 2\mathrm{\pi k} \Rightarrow \mathrm{x} = \pm \frac{\mathrm{\pi }}{3} + \mathrm{\pi k}$

Men här kan denna ekvation skrivas om till

$\cos \left(2x\right) = -\frac{1}{2}\iff {\cos }^2\left(x\right) = \frac{1}{4}$ med lösningar som i början av inlägget. Tydligen fås genom denna lösning ytterligare en lösningsfamilj, nämligen: $x =\pm \frac{2\mathrm{\pi }}{3}+ 2\mathrm{\pi k}$ och dessutom en annan period. Jag fick tipset i den andra tråden att rita upp enhetscirkeln och studera den, men jag blir inte klokare. Varför får jag dessa resultat?

Tacksam för svar!

Mvh