Fundering: eld som börjar i en punkt och sprider sig utåt

Bump

Bumpa inte din tråd inom tjugofyra timmar efter att tråden postats. Om du är osäker på hur lång tid som gått, håll muspekaren över tidsstämpeln efter "Postad" i ditt inlägg (exempelvis "Postad: Igår" eller "Postad: 23 timmar sedan"), så kan du se den exakta tiden då inlägget postades. /Smutstvätt, moderator

Kul fråga!

Jag skulle nog säga att det blir en cirkel, men en cirkel med en annan metrik än den vanliga. Vi kan säga att avståndet d(x,y) mellan punkterna x och y är hur lång tid det tar för en eld som startar i x att nå y. Med det avståndsbegreppet så blir kurvan som fås efter tiden t självklart lösningen till f(0,y)=t, dvs cirkeln med centrum i 0 och radie t i vår metrik.

Om man vill beräkna d(x,y) så borde det vara någon i stil med $\min_\gamma \int_\gamma f\left(x(t),y(t)\right)dt$ där $\gamma$ är vägar från x till y. Formellt sett så känns det nära differentialgeometri, vi tar våra vanliga metrik och ändrar den litegrann.

Jag kom precis på en sak, skalärfältet som beskriver bränsletillgången behöver inte alls vara differentierbar, det bildas bara en osammanhängande eldfrontlinje. I det enklaste fallet om vi delar upp hela planet i två halvor (fältet konstant på halvorna), av en rät linje och slänger fimpen någonstans på linjen, då skapas två halvcirklar av eld med olika radie.

Det var en oväntad idé... men jag vill inte ha en ny metrik, jag vill bara veta hur kruvan ser ut i vanliga R2 med den vanliga metriken. Eller missförstår jag dig?

Jag vet inte heller hur denna fråga kan formaliseras riktigt ordentligt. Det är någon sorts optimeringsproblem där en sluten kurvas inneslutna area ökar kontinuerligt med tiden. Vi vill att kurvan för varje liten förstoring (med t) täcker (dubbelintegralen av z=z(x, y) inuti kruvan) så mycket bränsle som möjligt?

Liknar det inte detta? https://www.pluggakuten.se/trad/valj-kurva-sa-att-linjeintegral-blir-sa-liten-som-mojligt/?#post-acdadb28-9015-4ddd-af40-ab67007b1cf1

(jag tror dessutom inte att z(x,y) inte ska ge bränslemängd utan bränslets lättantändlighet så att elden kan rusa fram snabbare eller långsammare, men det är saksamma)

Det borde inte bli två halvcirklar även då, tänk på att elden kan sprida sig från höger till vänster halva också.

Angående din länk så säger jag både ja och nej. Kurvan du vill ha är randkurvan på det brända området (dvs det jag kallar en cirkel i min nya metrik) som beskrivs av de punkter elden precis nått efter tiden t. 

Vi har också en till kurva som beskriver vilken väg elden tar då den går från från punkt a till b. Om vi har homogen bränsletillgång så blir det självklart en rak linje. Om vi inte har detta så är det svårare. Att bestämma den "raka vägen" mellan två punkter på exempelvis krökta ytor är en del av differentialgeometrin. Sådana kurvor kallas för geodeter. Man kan hitta dem bland annat genom variationskalkyl. Det är denna kurvas "längd" du vill minimera (längd i vårt fall motsvarar brinntid om vi går längs kurvan).

JohanB skrev:

Det borde inte bli två halvcirklar även då, tänk på att elden kan sprida sig från höger till vänster halva också.

Just det, vad blir det för mönster då...? Jag kan inte ens tänka fram det.

Vi har också en till kurva som beskriver vilken väg elden tar då den går från från punkt a till b. Om vi har homogen bränsletillgång så blir det självklart en rak linje. Om vi inte har detta så är det svårare. Att bestämma den "raka vägen" mellan två punkter på exempelvis krökta ytor är en del av differentialgeometrin. Sådana kurvor kallas för geodeter. Man kan hitta dem bland annat genom variationskalkyl. Det är denna kurvas "längd" du vill minimera (längd i vårt fall motsvarar brinntid om vi går längs kurvan).

Okej... Men det blir oändligt många sånna kruvor som alla börjar i samma punkt?

Vad är geodet på engelska?

Vill du skriva lite mer handfast matematik? 

Om vi antar att högra halvan brinner snabbare så blir det iallafall en halvcirkel där (vi tjänar aldrig på att stanna kvar/gå in i vänstra igen). På vänstra blir det lite mer komplicerat. Det borde gå att skriva som kanten på unionen av en massa halvdiskar, med centrum på linjen där vi byter område.

Geodet heter geodesic på engelska och är motsvarigheten till rak linje när man jobbar i rum som är krökta. Det kan variera hur många sådana som finns, rätt vanligt är att det bara en geodet mellan två punkter (precis som linjer) men det kan finnas flera.

Att jobba med det explicit är ofta rätt snårigt och kräver ett bra sätt att hantera hur "krökt" något är (som i ditt fall hur bränsletillgången varierar lokalt). Vanligen vill man ha hyfsat snällt (t.ex. att det är en slät mångfald med en riemannmetrik) rum att arbeta med.

Det lättaste exemplet som inte är helt trivialt är sfären. Vilken är den kortaste vägen mellan två punkter som följer ytan på en sfär? Detta visar sig motsvara såkallade storcirklar, de kurvor man får om man skär sfären (modellerad som lösningar till |v|=1 i R^3)  med plan som går igenom origo. Oftast så finns det bara ett sådant plan (eftersom vi har våra två punkter på sfären+origo och tre punkter oftast ger unikt plan) och alltså en sådan kurva. Ekvatorn är ett exempel på en sådan storcirkel.

Ibland kan det finnas flera exempel, det finns många sådana vägar från nordpolen till sydpolen t.ex. (då man kan rotera och få en ny, lika lång väg). (Jag antar här att jorden är en perfekt sfär, egentligen stämmer inte det)

Den absolut viktigaste faktor gällande hur en faktiskt eld (förekommande i naturen) sprider sig är vindstyrka och vindrikning och inte bränslets koncentrationer. Sedan skapar en tillräckligt stor eld sin egen vind där kall luft sugs mot elden och varm drivs uppåt vilket medför att eld hellre klättrar uppför backar än nedför dem, osv. 

Huruvida hypoteserna gällande varför elden du observerade Qetsiyah var cirkulär så krävs det i mina ögon mer bakgrund och beskrivning. Man ska inte modellera för löst och en modell blir inte bättre bara för att den är mer matematisk. 

Asså nej, jag upptäckte en matematisk intressant fråga som kom av denna observation, jag vill inte att modellera här. Det där är alldeles för praktiskt för att jag ska bry mig om.

Men jag tror att du missförstår det jag kallar "eld", det är bara en liten glöd som sprider sig utan vind, bara naturlig... spridning. Jag gjorde en liten kommentar om dess lättantändlighet som du kanske såg.

Jag lade upp detta på ett annat forum och fick ett tips: : https://rib.msb.se/Filer/pdf/24328.pdf

 Den är på 79 sidor så jag tror du har några svar där.