Fundering: Arkimedes princip och Normalkrafter på kroppar i botten av en vätska

Väldigt spännande didaktisk diskussion. 

(1) Kan man anta att normalkraft, arkimedisk lyftkraft, och tyngdkraft är de enda relevant krafterna när man släppt en sten i en plasthink med vatten. (Jag tänker kalla detta tre-kraft-modellering)

Ja, det tycket jag att man borde, om inte undantagen som du själv beskrev uppstår: botten eller något av objektets sidor är inte i kontakt med vätskan och det uppstår s.k. "sugeffekt". Då gäller inte längre Arkimedes princip och lyftkraften måste härledas direkt från obalans hos det hydrostatiska trycket.

Säg en sten som sjunkigt ned i gyttja i en sjö och det existerar någon slags adhesion till botten. Hur kan det modelleras?

Adhesionen mellan stenen och gyttjan kan säkerligen modelleras och beskrivas som en medelkraft vilken på stenen riktas nedåt om man försöker lyfta den uppåt. Likt situationen som beskrevs tidigare har vi troligtvis hydrostatiskt medeltryck som följd av "vattenpelare" på alla sidor utom en. Detta medför återigen att Arkimedes princip inte direkt gäller och vi måste beskriva kraftsituationen mer detaljerat.

Om vi tänker efter förstår vi att Arkimedes princip faktiskt följer som en konsekvens av skillnad i tryck mellan ovansida och undersida hos ett objekt. Alltså; om trycket var lika överallt skulle detta ej gälla vilket också är varför komplexa vätskor med variabel densitet eller icke-newtonsk viskositet inte följer Arkimedes princip.

...men vid grovkornig sand där vatten lätt flödar mellan partiklar förväntar jag mig att tre-kraftsmodellering kan vara acceptabelt. Har någon en känsla om var gränsen bör dras?

Oj, vad svårt att svara på. Till att börja med skulle jag föreslå att om du vill titta på denna typ av problem tänk då på kuber, snarare än en irreguljär sten. Då blir det mycket enklare att sedan generalisera analysen.

Sedan får man fundera på vad "gränsen" egentligen innebär. Det skulle, i  min värld, vara då lyftkraften som beskrivs av Arkimedes princip är vid experimentell mätning mindre än 90 % av den förutsagda storleken. Detta skulle alltså enkelt kunna beräknas baserat på en viss normaliserad sannolikhetsfördelning hos den grovkorniga sanden (vi gör alltså en uppskattande modell hos diametern hos sandkornen och modellerar dem som sfärer i kontakt med objektets botten).

Tack för att du delade dina funderingar Ebola. Jag funderar dock på om  arkimedes princip (eller en version i alla fall) ändå gäller vid variabel densitet

Ebola: Om vi tänker efter förstår vi att Arkimedes princip faktiskt följer som en konsekvens av skillnad i tryck mellan ovansida och undersida hos ett objekt. Alltså; om trycket var lika överallt skulle detta ej gälla vilket också är varför komplexa vätskor med variabel densitet eller icke-newtonsk viskositet inte följer Arkimedes princip.

Om hur viskositet kan påverkar vet jag inte men påminns av ett bevis av arkimedes princip som jag gjorde när jag gick på högskola många år sedan och som jag tycket kan modifieras till variabel densitet. Jag hittade på det själv så kan mycket väl finnas något fel i det.

Idén: I en xy-symmetrisk fluid beror trycket av djupet z kan vi modellera trycket som ett fält. Om man tar $p_0$ som trycket på en referensnivå $z = 0$ så får vi

$p(z) = p_0 - \int_0^z p(h)g dh$

och gradienten är

$\nabla p = - \rho(z) g \widehat{z}$

Man kan visa Arkimedes princip genom att använda en hjälpsats till Gauss sats (/Divergenssatsen) som säger

$\int_A f \widehat{n} dS = \int_V \nabla{f} dV$

dvs att vektorintegralen av ett vektorfält över en yta som definieras genom ett skalärfält som är normal till ytan är samma som integralen av skalärfältets gradient över volymen. Detta förutsätter en hel del villkor på fältens karaktär men tillämpat på ett tryckfält får man

$F_L = -\int_A p \widehat{n} dS = -\int_V \nabla{p} dV =  g \widehat{z}\int_V \rho(z) dV$

Varav sista integralen fortfarande är den undanträngda volymens tyngd beräknat som om densiteten varierade i volymen.

Detta leder i praktiken att en version av arkimedes lag gäller så länge en statisk fluid helt omger kroppen även om den fluiden varierar i densitet. Följer inte explicit från härledningen men gäller även om kroppen flyter i gränsen mellan två faser. (Såvida man kan ignorera ytspänning)

edit: På sätt och vis är detta en trevlig modifikation då vi kan betrakta kroppar som flyter vid vattenytan som att de omges av en och samma sammanhängande fluid vars densitet varierar snarare än som två separata effekter från luft och vatten.

Denna analys leder mig till slutsatsen att det är när man involverar icke-fluider i kontaktytan som arkimedes fallerar snarare än karaktären hos fluider.

Jag funderar dock på om arkimedes princip (eller en version i alla fall) ändå gäller vid variabel densitet

Ja, alltså, man måste modifiera principen då den i sin ursprungliga form är otillräcklig snarare än strikt felaktig. I en kurs kring nanofysik skrev vi en kort essä om och presenterade "Generaliserade Arkimedes lag". Du kan läsa mer om den här:

Updating the eureka - Nature.com

What buoyancy really is. A Generalized Archimedes Principle