Fundering: analytisk mekanik

Hej, utgående från den här bilden som jag gillar

Så försöker jag förstå mig på the big picture här i fysiken, men det är krångligt och jag är vilsen. Vad är den analytiska mekanikens relation till/tillämpning i övriga mekanikgrenar än klassisk mekanik? Kallas det något speciellt när det används?