Fundering analys: att derivera i cykler

(Jag behöver som vanligt hjälp med att formulera frågan också).

Jag undrar om egenskapen att funktioner efter ett antal deriveringar återgår till att vara sig själv är unik för 0, e^x och de trigonometriska funktionerna? På något sätt kan jag inte googla rätt, men det måste vara någon som undrat detta tidigare.

Här är mitt försök (där jag inte vill ha över hela R):

Låt $f: D\to \mathrm{ℝ}, D\subseteq \mathrm{ℝ}, sammanhängande, f\in C^{\infty }\left(D\right)$, visa att $f^n\left(x\right)=f\left(x\right), n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}_{>1}, f^b\left(x\right)\ne f\left(x\right) för 0<b<n$ endast uppfylles av de trigonometriska och hyperboliska funktionerna på D.

Jag tänker omedelbart på taylorserier; anledningen till att sinus taylorserie blir sig själv är att termerna "flyttas bak" vid derivering. Taylorserien måste konvergera mot f på hela D, men det kanske är ett onödigt krav. Vi kan skriva likheten med taylorserien (jag byter n till m):

$f\left(x\right)=\sum _{i=0}^{\infty }\frac{f^n\left(a\right)}{n!}{(x-a)}^n=f^m\left(x\right)=\sum _{i=0}^{\infty }\frac{f^{n+m}\left(a\right)}{(n+m)!}{(x-a)}^{n+m}$

Jag vet inte hur detta kan förenklas. Likheten ska gälla alla a i D och för det aktuella m:et. Vilka f uppfyller detta?

Ett annat angreppsätt är differentialekvaioner:

y-y^m=0. Som bekant får vi lösningarna y=0, e^x, trigfunktionerna för m=1, 2. Sen så orkar jag inte tänka mer för klockan är mycket.

Jag som gillar linjär algebra tänker på egenvektorer till differentialoperatorn, men istället för $Df=\lambda f$ så $D^{n}f=f$ där lambda helt enkelt blir tvunget att vara 1.