Funderar över hur jag kan bestämma ekvationen nedan till en halvcirkel.

Följande ekvation $\sqrt{2 - t^{2}}$ är en del av en integralfråga från kursen integralkalkyl, dock så tror jag inte riktigt det är uppe i den nivån av svårhetsgrad.

Ekvationen blir en halvcirkel när jag använder en grafritande kalkylator. Men min lärare skrev det som en helcirkel i facit så vet inte vad som är korrekt. Fullständig uppgift följer...

"Evaluate the integral by using the properties of the definite integral and interpreting integrals as areas"

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \sqrt{2 - t^{2}} d t$

Integralen är inga konstigheter att lösa då jag har cirkeln, dock är det själva grafen som jag inte förstår mig på. Hur kan jag UTAN användning av kalkylator bestämma grafen. Samt vilka regler är det som bestämmer att det är så? Jag har försökt klura ut det men kommer inte till någon vettig slutsats.

Tack på förhand

Hej ALFCAL och välkommen till Pluggakuten!

Jag tror du övertänker uppgiften lite.

Man kan tänka sig att man från början har en ekvation $s^2+t^2=2$ , vilket är en cirkel med radien $r=\sqrt{2}$ i st-planet.

Löser man ut "y-koordinaten" får man $s=\pm\sqrt{2-t^2}$

Notera att det blir $\pm$ , därav all förvirring kring hel/halvcirkel. Om vi vill kan vi se integralen som

$\displaystyle \int_{-\sqrt{2}}^\sqrt{2} s dt$

Där $s$ är y-koordinaten i varje punkt på den övre halvcirkelbågen. Det är ju samma sak som arean av $D$ (summan alla infinitesimala ytelement $s\cdot dt$ ), där $D$ är övre halvcirkeln

Alltså blir integralen trivialt

$\displaystyle \int_{-\sqrt{2}}^\sqrt{2} \sqrt{2-t^2}dt=\pi$

D4NIEL skrev:
Hej ALFCAL och välkommen till Pluggakuten!

Jag tror du övertänker uppgiften lite.

Man kan tänka sig att man från början har en ekvation $s^2+t^2=2$ , vilket är en cirkel med radien $r=\sqrt{2}$ i st-planet.

Löser man ut "y-koordinaten" får man $s=\pm\sqrt{2-t^2}$

Notera att det blir $\pm$ . Om vi vill kan vi se integralen som

$\displaystyle \int_\gamma s dt$

Där $s$ är y-koordinaten i varje punkt på den övre halvcirkelbågen. Det är ju samma sak som arean av $D$ (summan alla infinitesimala ytelement $s\cdot dt$ ), där $D$ är övre halvcirkeln

Alltså blir integralen trivialt

$\displaystyle \int_{-\sqrt{2}}^\sqrt{2} \sqrt{2-t^2}dt=\pi$

Okej, tack så mycket för hjälpen!

Svara