Fundamental matris av ett homogent system

Hej! Jag har ett ickehomogent system y'= [-3 -3 , 6 3]y + [-3, -2]

För att ta fram systemets homogena fundamentalmatris tar jag fram egenvärdena av första matrisen dvs. [-3 -3 , 6 3] och då fick jag att lambda = +/- 3

Därefter är det givet att egenvektorn 3i till matrisen är [-3, 3+3i]

Fundamentalmatrisen ska vara en 2x2 matris och vad jag vet ska varje egenvektor motsvara en kolonn i fundamentalmatrisen men det stämmer inte. Någon som vet hur jag ska gå tillväga med denna uppgift?

När du skall lösa ett system av differentialekvationer $y'=Ay$ är egenvektorerna till $A$ nödvändiga i beräkningarna, men det är ju inte så enkelt som att bara lägga dem som kolonner i en matris för att ta fram fundamentalmatrisen.

Till att börja med. Dina egenvärden är $\lambda=\pm3i$ . Detta ger två egenvektorer. Ta fram dem. (Om man är duktig på komplexa tal kan man utnyttja att egenvärden såväl som egenvektorer måste komma i konjugatpar, eftersom matrisen har reella element)

Du känner förmodligen sedan till att lösningarna ges av $y_1=v_1e^{\lambda_1t}$ och $y_2=v_2e^{\lambda_2t}$ . Det är dessa som du skall lägga som kolonner i en matris för att få fundamentalmatrisen.

Observera dock att när man får komplexa egenvärden och egenvektorer finns det sätt att snygga till dem så att du får reella lösningar med sinus- och cosinusfunktioner. Se denna tråd:

https://www.pluggakuten.se/trad/ta-fram-den-allmanna-losningen-vid-imaginara-lambda/

Svara