Fruktansvärt Algebradag 1

Hej!

Jag har den värsta algebra dag hittills. De flesta uppgifter jag har försökte lösa blev fel. Jag tänker så synd om mig själv att jag kan nästan höra en Requiem för fiol i bakgrunden.

Ange samtliga rötter till:

$z^{6} + 2 z^{3} + 2 = 0$

Om vi ersätter $z^{3} = t$ får vi med $pq$ -formeln att svaret är $1 \pm i$ .

Konversion till polär form ger mig:

$z^{3} = \sqrt{2} e^{i \frac{π}{4}}$ och $z^{3} = \sqrt{2} e^{i \frac{7 π}{4}}$ , med perioden $\frac{2 π}{3}$ .

Fråga 1: får jag skriva $z^{3} = \pm \sqrt{2} e^{i \frac{π}{4}}$

Om jag tar $z^{3} = \sqrt{2} e^{i \frac{π}{4}}$ och lägger på perioder, detta ger mig rötterna:

$z_{1} = \sqrt[6]{2} e^{i \frac{π}{12}} z_{2} = \sqrt[6]{2} e^{i \frac{3 π}{4}} z_{3} = \sqrt[6]{2} e^{i \frac{17 π}{12}}$

DÄREMOT! Om jag börjar ifrån $z^{3} = \sqrt{2} e^{i \frac{7 π}{4}}$ kommer jag aldrig fram till rätt svar:

$z_{4} = \sqrt[6]{2} e^{i \frac{7 π}{4}} z_{5} = \sqrt[6]{2} e^{i \frac{7 π}{4} + \frac{2 π}{3} = \frac{29 π}{12}} = \sqrt[6]{2} e^{i \frac{5 π}{12}}, m e n \sqrt[6]{2} e^{i \frac{5 π}{4}} e n l i g t f a c i t e n z_{6} = \sqrt[6]{2} e^{i \frac{7 π}{4} + \frac{4 π}{3} = \frac{37 π}{12} = \frac{13 π}{12}}, m e n \sqrt[6]{2} e^{i \frac{23 π}{12}} e n l i g t f a c i t e n$

Fråga 2: vad gick åt skogen för $z_{5}$ och $z_{6}$ ?

1) $\sqrt{2} e^{\pm i \frac{π}{4}}$ känns mer rätt.

2) Samma grej där -- du har nog argumentet $\pm \frac{(\frac{π}{4} + n * 2 π)}{3}$ eller $\pm \frac{1}{12} (1 + 8 n) * π$

Hej!

Du har kommit fram till att om det komplexa talet $z$ är sådant att $z^6 +2z^3 + 2 = 0$ så följer det att $z^3 = 1 + i$ eller att $z^3 = 1 - i.$ Detta är ditt första misstag; det ska vara $z^3 = -1 + i$ eller $z^3 = -1 - i\ .$

Sedan gäller att lösa de två binomiska ekvationerna $z^3 = -1 + i$ och $z^3 = -1 - i$ och detta gör du på sedvanligt sätt genom att uttrycka ekvationerna på polär form. Talet $z$ skrivs

$z = re^{i\theta}$

och $-1-i$ skrivs

$-1-i = \sqrt{2}e^{iv + i2\pi n}$

och $-1+i$ skrivs

$-1+i=\sqrt{2}e^{iu+i2\pi m}$

där $n$ och $m$ är godtyckliga heltal och $\tan v = 1$ samt $\tan u = -1\ .$

Den binomiska ekvationen $z^3 = -1 + i$ har lösningarna

$z = \sqrt[6]{2}e^{i\frac{v}{3} + i\frac{2\pi}{3}n}$

och den binomiska ekvationen $z^3 = -1 - i$ har lösningarna

$z = \sqrt[6]{2}e^{i\frac{u}{3} + i\frac{2\pi}{3}m}\ .$

Albiki

Tack!

Förlåt Albiki, jag är en åsna. Frågan var:

Jag kopierade ÄVEN fel när jag skrev på PA.

@PeBo:

Jag får fortfarande fel svar!

$z_{5} = \sqrt[6]{2} e^{i - \frac{π}{4} + \frac{2 π}{3}} = \sqrt[6]{2} e^{i - \frac{3 π}{12} + \frac{8 π}{12} = \frac{5 π}{12}}$

och

$z_{6} = \sqrt[6]{2} e^{i - \frac{π}{4} + 2 \cdot \frac{2 π}{3}} = \sqrt[6]{2} e^{i - \frac{3 π}{12} + \frac{16 π}{12} = \frac{13 π}{12}}$

Svara

Visa senaste svar