Fritt fall med luftmotstånd

Kan någon hjälpa mig att förstå  uppgiften nedan:

Läs differentialekvationen och bestäm vilket värde v närmar sig för stora värden på t

$\left\{\begin{array}{l}m\frac{dv}{dt}=mg-kv\\ v\left(0\right)=0\end{array}\right.$

hittills har jag skrivit upp

$\frac{dv}{dt}=g-\frac{kv}{m}$

$$\begin{gathered} v\text{'}=g-\frac{kv}{m} \to v\text{'}+\frac{kv}{m}=g \to hitta v_h och v_p \\ {v}_h=C{e}^{-\frac{kt}{m}} \\ {v}_p=a \\ v{\text{'}}_p=0 \to 0+\frac{k}{m}a=g \to a=\frac{mg}{k} \\ lösningen på differentialekvationen är: \\ v=C{e}^{\frac{-kt}{m}}+\frac{mg}{k} \end{gathered}$$

sen försökte jag lösa $\underset{t\to \infty }{\lim }$men i facit är min lösning på d.e fel, det ska vara $v=\frac{mg}{k}(1-e^{\frac{-kt}{m}})$

kan någon hjälpa mig korrigera min lösning till differentialekvationen