friläggning mekanik

Uppgiften:

Friläggning enligt facit:

Hur vet man att reaktionskrafterna från gångjärnet ska placeras i I origo? Förstår att problemet inte är lösbart annars men facit skriver inte ut att de gör detta antagande.

Moment angriper inte i någon punkt utan är en kroppsspecifik, fri pseudovektor. Fråga din föreläsare mer om detta.

Reaktionskraftens verkningslinje är inte helt självklar, tycker jag. Att de sätter den i origo kan vara enbart illustrativt. Alltså den är inte fixerad i x-led, men vi vet att den naturligtvis är vid $y=z=0$ . Sedan kan det vara ett provskott som visar sig stämma men jag är inte helt säker. Med tanke på dina andra uppgifter kan det också vara av ren nödvändighet utan någon anknytning till verkligheten.

Tillägg: 25 maj 2023 17:44

Kan du visa hela deras lösning?

Tack återigen :)

Som det ser ut så har man gjort friläggningen efter uträkningen. Alltså, du kan sätta reaktionskraften var du vill längs med x-axeln mellan $x=0$ och $x=a$ i din initiala friläggning. Sedan kommer jämviktsanalysen visa att den nödvändigtvis angriper i origo.

Du kan exempelvis räkna momentjämvikt kring en axel parallell med z-axeln som skär punkten (a,0,0). Detta ger:

$mg/2 \cdot a - mg/2\cdot (a-x) =0$

Detta ger direkt att $x=0$ .

$0 = M_{g å n g j ä r n} + (- a / 2, a / 2, 0) \times F_{g} + (- a, a, 0) \times F_{s} + (a - x, 0, 0) \times R 0 = (0, M_{g y}, M_{g z}) - m g a / 2 (1, 1, 0) + S / \sqrt{2} (a, a, a) + (0, - R_{z} (a - x), R_{y} (a - x)) e_{x} : - m g a / 2 + S \sqrt{2} a = 0 \Rightarrow S = m g / \sqrt{2} \Rightarrow F_{s} = m g / 2 (0, - 1, 1) e_{y} : M_{g y} - m g a / 2 + m g / \sqrt{2} / \sqrt{2} a - R_{z} (a - x) = 0 \Leftrightarrow M_{g y} - R_{z} (a - x) = 0 (1) e_{z} : M_{g z} + m g a / 2 + R_{y} (a - x) = 0 (2) K r a f t j ä m v i k t : e_{x} : R_{x} = 0 e_{y} : R_{y} - m g / 2 = 0 \Leftrightarrow R_{y} = m g / 2 (3) e_{z} : R_{z} - m g + m g / 2 = 0 \Leftrightarrow R_{z} = m g - m g / 2 = m g / 2 (4) (3) i (2) g e r M_{g z} + m g a / 2 + m g / 2 (a - x) = 0 (4) i (1) g e r M_{g y} - m g / 2 (a - x) = 0$

Får tre okända men bara två ekvationer?

Japp, så klart fick vi tidigare $x=0$ då vi fick $M_{Oz} = 0$ från antagandet att reaktionskraften angriper origo. Den ena följer av den andra.

Notis: Ortsvektorn från axeln till reaktionskraften är $(-(a-x),0,0)$ .

Detta ger $M_{gz} = -mgx/2$ .

Vi ser alltså att om vi formulerar ett reaktionsmoment i z-led kräver det att reaktionskraften är någon annanstans än origo och vice versa. Strikt innebär detta alltså att det inte går att lösa uppgiften. Det är statiskt obestämt. Vi måste anta att reaktionskraften agerar i hörnet eller att inget reaktionsmoment verkar i z-led. Är detta lämpligt? Förmodligen inte. Kruxet med statiskt obestämd stelkroppsanalys är att det signalerar att vi har ett överdrivet tvång (overconstraint) på vårt system. Vi skulle alltså kunna designa om utan att förlora statisk jämvikt.

Ett typiskt exempel är en balk som ligger på fler än två stöd.

Tillägg: 26 maj 2023 00:04

Notera att det kan vara någon subtil detalj som jag missat. Detta är ett krångligt område som jag inte sett hanteras på ett tillfredsställande sätt i någon källa.

Återkommer om jag kommer på något.

Jag prövade att simulera detta och resultatet är att reaktionskraften angriper mitten av gångjärnet, vid $x= a/2$ . Den blev där lika med:

$\vec{F}_R= (0, mg/2,mg/2)$

Reaktionsmomentet blev:

$\vec{M}_R = (0,-mga/4,-mga/4)$

Slutsats

Lösningen som din föreläsare presenterat ser ut att vara felaktig.

Tack för hjälpen SaintVenant. Då jag först löste uppgiften antog jag att reaktionskraften hade sin angreppspunkt i mitten.

Gångjärnet kan ses som ett utbrett kraftsystem som påverkar plattan. Vi kan alltid ekvimoment reducera detta till ett system bestående av en kraft (kraftsumma) verkande i valfri punkt och ett rent moment (kraftpar). Således kan man välja att reducera gångjärnets påverkan till vilken punkt som helst. Om man vill räkna fram detaljerna på hur gångjärnet påverkar plattan så måste man använda mer avancerade metoder (kontinuummekanik, Elasticitetsteori etc.).

Bra svar! Det är sannolikt exakt därför simuleringen producerar en angreppspunkt i vad som blir att betrakta som den uniformt utbredda lastens mittpunkt.

Detta borde även vara varför momentet i z-led försvinner och momentet i y-led dubbleras om vi flyttar reaktionskraften från mitten till origo genom att införa två kraftpar.

Svara

Visa senaste svar