Friktion som inte uträttar arbete

Läste att ”friktionskraften uträttar inte något arbete eftersom hjulet rullar utan glidning”. Och det fattar jag, men varför ska man ändå räkna med den i kraftekvationen tex?

Ansats:  mg((sin(täta) + cos (90-täta))(R-r),  tyngdkraft plus centripetalkraft.

Detta är väldigt subtilt och bakgrunden är överkurs, tycker jag. Men, det finns flera sätt att tänka på det.

Det verkar för mig som att du vill tänka i termer av en kurvintegral av Newtons andra lag, men det är inte helt korrekt. Det formulerar nämligen något som ibland kallas pseudoarbete och strikt kan beskrivas som en energiekvation för endast masscentrum.

För en cylinder som rullar ett avstånd $d_{MC}$ utan att glida nedför ett lutande plan med vinkel $\theta$ fås:

$(mg\sin\theta - F_f ) d_{MC} = \dfrac{1}{2}mv^2$

En global energiekvation med systemgräns kring cylindern ger:

$mg\sin\theta\cdot d_{MC} =\dfrac{1}{2}mv^2+\dfrac{1}{2}I\omega^2$

Vi kan sammanfatta dessa betraktelser som:

1. Det måste vara så att minskad translationell energi balanseras av pseudoarbete av friktionskraften eller rotationsenergi. Men, det som egentligen händer är att du har ett tvång på systemet, liksom ett kugghjul som rullar på kuggar, där kuggarna naturligtvis inte utför ett arbete. Om du jämför med en cylinder som glider friktionslöst har du bara en källa för energi; den gravitationella potentiella energin. Den statiska friktionskraften i kontaktpunkten minskar den translationella energin genom ett "linjärt kraftarbete" i tangentiell riktning eller omvandlar potentiell energi till rotationsenergi genom ett "rotationellt momentarbete" kring tyngdcentrum. Dessa bidrag är nödvändigt identiska.
2. Hastigheten är momentant noll vilket är synonymt med att punkten momentant inte rör sig, alltså utför inte friktionen något nettoarbete, eftersom du inte har något avstånd för friktionen att utföra ett nettoarbete över.

Ännu en motivation du kan använda dig av om du har svårt för din lärares förklaring är att titta på en momentekvation kring masscentrum:

$F_f\cdot r = I\alpha$

Alltså ser vi att friktionskraften möjliggör en rotation och här kan du använda $\omega \ d\omega = \alpha \ d\theta$. Om du integrerar på båda sidor kommer du få fram att:

$F_f \cdot \theta r = \dfrac{1}{2}I\omega^2$

Där vi kan visa att $\theta r = d_{MC}$ eftersom den rullar utan att glida. Detta borde implicera att friktionskraften utför ett arbete, kan man tycka. Men märk väl att den inte bidrar till en ökad eller minskad total kinetisk energi, i detta fallet. Den fungerar snarare som en mediator vilken omvandlar vad som annars skulle blivit linjär kinetisk energi, till rotationell kinetisk energi. Varje enskilt bidrag var för sig brukar då kallas pseudoarbete.