Frekvenssvar för en andra ordningens överföringsfunktion

Hej!
Sitter jobbar med lite överföringsfunktioner och frekvenssvar.

Har en överföringsfunktion som ser ut så här:

$G (i ω) = \frac{10}{{(i ω)}^{2} + 0.5 i ω + 1}$

Jag gjorde följande:

Och i facit stor det:
Så jag undrar såklart vart det där $- π$ på sista raden kommer från. Jag skulle gärna plocka fram det analytiskt men jag lyckades inte med det.
Jag tänkte dock så här:
Jag ska försöka formulera mig i ord här. För att få fram frekvenssvaret jag söker behöver jag ta arctan av ett negativt reellt tal. Men negativa reella tal ligger utanför det vinkelspann där arctan är definierat $- \frac{π}{2} < a r c \tan (x) < \frac{π}{2}$
. Så jag flyttar in talet i spannet där arctan är definiera genom att vrida tillbaka det ett halvt varv:
$a r c \tan (\frac{- 0.5 ω}{ω^{2} - 1}) - π$

Är det rätt tänkt så?

Inga tankar eller förslag?

Någon?

Det kan hända att du tänker rätt, men jag tycker du uttrycker det lite konstigt.

Du ska utgå från att principalvärdet för ett komplext tal definieras som den vinkel i intervallet $-\pi<\theta\leq>$ som definierar talet i Argandplanet. För det komplexa talet $z=x+iy$ är argumentet

$\arctan(\frac yx)\quad$ då $Re(z)>0$

$\arctan(\frac yx)+\pi\quad$ då $Re(z)<>$ och $Im(z)>0$

$\arctan(\frac yx)-\pi\quad$ då $Re(z)<>$ och $Im(z)<>$

Det kan se lite komplicerat ut, men det brukar vara lätt att förstå om man ska lägga till eller dra ifrån $\pi$ genom att bara rita in talet i Argandplanet.

Om du har det komplexa talet $z=(1-\omega^2)+i0.5\omega$ med $\omega>1$ så är $Re(z)<>$ , $Im(z)>0$ och argumentet är alltså

$\arg(z)=\arctan(\frac{(0.5\omega}{1-\omega^2})+\pi\quad$ då $\omega>1$

Eftersom du vill ha - $arg(z)$ blir det således

$-\arg(z)=-\arctan(\frac{(0.5\omega}{1-\omega^2})-\pi\quad$ då $\omega>1$

Tack D4NIEL, det förklarade saken!

Svara

Visa senaste svar